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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.6 - Ex. 10

Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.

∫ x 2 cos ⁡ a x   d x

Passo 1

Utilizando a integração por partes, temos:

u = x 2 ;

d u = 2 x   d x ;

d v = c o s   a x   d x ;

v = ∫ c o s   a x   d x = 1 a sen ⁡ a x .

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

∫ u d v = x 2 ⋅ 1 a sen ⁡ a x - ∫ 1 a sen ⁡ a x ⋅ 2 x d x

∫ u d v = x 2 a sen ⁡ a x - 2 a ∫ x ⋅ s e n   a x   d x

Passo 2

Devemos aplicar outra integração por partes no último termo:

u = x ;

d u = d x ;

d v = s e n   a x   d x ;

v = ∫ s e n   a x   d x = - 1 a cos ⁡ a x .

∫ u d v = x 2 a sen ⁡ a x - 2 a ∫ x ⋅ s e n   a x   d x = x 2 a sen ⁡ a x - 2 a x ⋅ - 1 a cos ⁡ a x - ∫ - 1 a cos ⁡ a x   d x

∫ u d v = x 2 a sen ⁡ a x + 2 x a 2 cos ⁡ a x - 2 a 3 s e n   a x

Como se trata de uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante de indefinição:

x 2 a sen ⁡ a x + 2 x a 2 cos ⁡ a x - 2 a 3 s e n   a x + c

Resposta

x 2 a sen ⁡ a x + 2 x a 2 cos ⁡ a x - 2 a 3 s e n   a x + c

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