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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.6 - Ex. 33

Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.

∫ cos ⁡ ln ⁡ x d x

Passo 1

Utilizando a integração por partes, temos:

u = cos ⁡ ( ln ⁡ x ) ;

d u = - s e n   ( ln ⁡ x ) x d x ;

d v = d x ;

v = ∫ d x = x .

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

∫ u d v = cos ⁡ ( ln ⁡ x ) ⋅ x - ∫ x ⋅ - s e n   ( ln ⁡ x ) x d x = cos ⁡ ( ln ⁡ x ) ⋅ x + ∫ [ s e n   ln ⁡ x ) d x

Passo 2

Aplicaremos outra integração por partes:

u = sen ⁡ ( ln ⁡ x ) ;

d u = cos ⁡ ( ln ⁡ x ) x d x ;

d v = d x ;

v = ∫ d x = x .

∫ u d v = cos ⁡ ( ln ⁡ x ) ⋅ x + ∫ [ s e n   ln ⁡ x ) d x

∫ u d v = cos ⁡ ( ln ⁡ x ) ⋅ x + s e n   ln ⁡ x ⋅ x - ∫ x ⋅ cos ⁡ ( ln ⁡ x ) x d x  

∫ u d v = cos ⁡ ( ln ⁡ x ) ⋅ x + s e n   ln ⁡ x ⋅ x - ∫ cos ⁡ ( ln ⁡ x ) d x  

Como temos a repetição da integral original:

∫ u d v = cos ⁡ ( ln ⁡ x ) ⋅ x + s e n   ln ⁡ x ⋅ x - ∫ u d v

2 ∫ u d v = cos ⁡ ( ln ⁡ x ) ⋅ x + s e n   ln ⁡ x ⋅ x

∫ u d v = x 2 cos ⁡ ( ln ⁡ x ) + s e n   ln ⁡ x

Como se trata de uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante de indefinição:

x 2 cos ⁡ ( ln ⁡ x ) + s e n   ln ⁡ x + c

Resposta

x 2 cos ⁡ ( ln ⁡ x ) + s e n   ln ⁡ x + c

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