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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 7

Calcule a integral usando integração por partes

int e^x c o s ( 2 x ) d x

Passo 1

Utilizando integração por partes, suponha

u = cos (2 x) => d u = - s e n ( 2 x ) ( 2 ) d x => d u = - 2 s e n ( 2 x ) d x,

d v = e^x => v = e^x

Sabemos que,

int u d v = u v - int v d u

Sendo assim,

=> int e^x c o s ( 2 x ) d x

= c o s ( 2 x ) e^x - int e^x ( - 2 sen (2 x) ) d x

Utilizando a propriedade de retirada da constante de integrais,

= cos (2 x) e^x + 2 int e^x s e n ( 2 x ) d x

Lembrando que, como estamos com uma integral precisamos lembrar de acrescentar a constante C ao final.

Passo 2

Utilizando integração por partes novamente, suponha

u = s e n ( 2 x ) => d u = 2 c o s ( 2 x ) d x ,

d v = e^x => v = e^x

Sendo assim,

=> int e^x s e n ( 2 x ) d x = s e n ( 2 x ) e^x - 2 int e^x c o s ( 2 x ) d x

Logo,

int e^x c o s ( 2 x ) d x = cos (2 x) e^x + 2 [ s e n ( 2 x ) e^x - 2 int e^x c o s ( 2 x ) d x ]

= cos (2 x) e^x + 2 s e n ( 2 x ) e^x - 4 int e^x c o s ( 2 x ) d x

Assim,

=> int e^x c o s ( 2 x ) d x = cos (2 x) e^x + 2 s e n ( 2 x ) e^x - 4 int e^x c o s ( 2 x ) d x

=> int e^x c o s ( 2 x ) d x + 4 int e^x c o s ( 2 x ) d x = cos (2 x) e^x + 2 s e n ( 2 x ) e^x

=> 5 int e^x c o s ( 2 x ) d x = cos (2 x) e^x + 2 s e n ( 2 x ) e^x

=> int e^x c o s ( 2 x ) d x = (1)/(5) [cos (2 x) e^x + 2 s e n (2 x) e^x]

Portanto,

int e^x c o s ( 2 x ) d x = (1)/(5) [cos (2 x) e^x + 2 s e n (2 x) e^x] + C

Resposta

int e^x c o s ( 2 x ) d x = (1)/(5) [cos (2 x) e^x + 2 s e n (2 x) e^x] + C

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