Calcule a integral usando integração por partes

∫ e x c o s ⁡ ( 2 x ) d x

Passo 1

Utilizando integração por partes, suponha

u = cos ⁡ 2 x ⇒ d u = - s e n ⁡ ( 2 x ) ( 2 ) d x ⇒ d u = - 2 s e n ⁡ ( 2 x ) d x,

d v = e x ⇒ v = e x

Sabemos que,

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Sendo assim,

⇒ ∫ e x c o s ⁡ ( 2 x ) d x

= c o s ⁡ ( 2 x ) e x - ∫ e x ( - 2 sen ⁡ 2 x ) d x  

Utilizando a propriedade de retirada da constante de integrais,

= cos ⁡ 2 x e x + 2 ∫ e x s e n ( 2 x ) d x  

Lembrando que, como estamos com uma integral precisamos lembrar de acrescentar a constante C ao final.

Passo 2

Utilizando integração por partes novamente, suponha

u = s e n ( 2 x ) ⇒ d u = 2 c o s ⁡ ( 2 x ) d x ,

d v = e x ⇒ v = e x

Sendo assim,

⇒ ∫ e x s e n ( 2 x ) d x   = s e n ( 2 x ) e x - 2 ∫ e x c o s ⁡ ( 2 x )   d x

Logo,

∫ e x c o s ⁡ ( 2 x ) d x = cos ⁡ 2 x e x + 2 [ s e n ( 2 x ) e x - 2 ∫ e x c o s ⁡ ( 2 x )   d x ]

= cos ⁡ 2 x e x + 2 s e n ( 2 x ) e x - 4 ∫ e x c o s ⁡ ( 2 x )   d x

Assim,

⇒ ∫ e x c o s ⁡ ( 2 x ) d x = cos ⁡ 2 x e x + 2 s e n ( 2 x ) e x - 4 ∫ e x c o s ⁡ ( 2 x )   d x

⇒ ∫ e x c o s ⁡ ( 2 x ) d x + 4 ∫ e x c o s ⁡ ( 2 x )   d x = cos ⁡ 2 x e x + 2 s e n ( 2 x ) e x

⇒ 5 ∫ e x c o s ⁡ ( 2 x )   d x = cos ⁡ 2 x e x + 2 s e n ( 2 x ) e x

⇒ ∫ e x c o s ⁡ ( 2 x )   d x = 1 5 cos ⁡ 2 x e x + 2 s e n 2 x e x

Portanto,

∫ e x c o s ⁡ ( 2 x )   d x = 1 5 cos ⁡ 2 x e x + 2 s e n 2 x e x + C

Resposta

∫ e x c o s ⁡ ( 2 x )   d x = 1 5 cos ⁡ 2 x e x + 2 s e n 2 x e x + C

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