Calcule a integral usando integração por partes

∫ x 2 s e n ( 1 - x ) d x

Passo 1

Utilizando integração por partes, suponha

u = x 2 ⇒ d u = 2 x d x ,,

d v = s e n 1 - x ⇒ v = - cos ⁡ 1 - x . ( - 1 ) ⇒ v = cos ⁡ 1 - x

Sabemos que,

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Sendo assim,

⇒ ∫ x 2 s e n ( 1 - x ) d x

= x 2 cos ⁡ 1 - x - ∫ cos ⁡ 1 - x 2 x d x  

Utilizando a propriedade de integrais de retirada da constante teremos

= x 2 cos ⁡ 1 - x - 2 ∫ x cos ⁡ 1 - x d x  

Lembrando que, como estamos com uma integral precisamos lembrar de acrescentar a constante C ao final.

Passo 2

Utilizando integração por partes novamente, suponha

u = x ⇒ d u = d x ,

d v = cos ⁡ 1 - x ⇒ v = s e n 1 - x - 1 ⇒ v = - s e n ( 1 - x )

Sendo assim,

⇒ ∫ x cos ⁡ 1 - x d x   = - x   s e n 1 - x + ∫ s e n ( 1 - x ) d x

= - x   s e n 1 - x + - cos ⁡ 1 - x

= - x   s e n 1 - x - cos ⁡ 1 - x

Logo,

∫ x 2 s e n ( 1 - x ) d x = - x 2 cos ⁡ 1 - x - 2 - x   s e n 1 - x - cos ⁡ 1 - x

= x 2 cos ⁡ 1 - x + 2 x   s e n 1 - x + 2 cos ⁡ 1 - x

= cos ⁡ 1 - x ( x 2 - 2 )   + 2 x   s e n 1 - x

Portanto,

∫ x 2 s e n ( 1 - x ) d x = cos ⁡ 1 - x ( x 2 - 2 )   + 2 x   s e n 1 - x + C

Resposta

∫ x 2 s e n ( 1 - x ) d x = cos ⁡ 1 - x ( x 2 - 2 )   + 2 x   s e n 1 - x + C

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