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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 6

Calcule a integral usando integração por partes

int x^2 s e n ( 1 - x ) d x

Passo 1

Utilizando integração por partes, suponha

u = x^2 => d u = 2 x d x ,,

d v = s e n (1 - x) => v = - cos (1 - x) . ( - 1 ) => v = cos (1 - x)

Sabemos que,

int u d v = u v - int v d u

Sendo assim,

=> int x^2 s e n ( 1 - x ) d x

= x^2 cos (1 - x) - int cos (1 - x) 2 x d x

Utilizando a propriedade de integrais de retirada da constante teremos

= x^2 cos (1 - x) - 2 int x cos (1 - x) d x

Lembrando que, como estamos com uma integral precisamos lembrar de acrescentar a constante C ao final.

Passo 2

Utilizando integração por partes novamente, suponha

u = x => d u = d x ,

d v = cos (1 - x) => v = s e n (1 - x) (- 1) => v = - s e n ( 1 - x )

Sendo assim,

=> int x cos (1 - x) d x = - x s e n (1 - x) + int s e n ( 1 - x ) d x

= - x s e n (1 - x) + (- cos (1 - x))

= - x s e n (1 - x) - cos (1 - x)

Logo,

int x^2 s e n ( 1 - x ) d x = - x^2 cos (1 - x) - 2 [- x s e n (1 - x) - cos (1 - x)]

= x^2 cos (1 - x) + 2 x s e n (1 - x) + 2 cos (1 - x)

= cos (1 - x) ( x^2 - 2 ) + 2 x s e n (1 - x)

Portanto,

int x^2 s e n ( 1 - x ) d x = cos (1 - x) ( x^2 - 2 ) + 2 x s e n (1 - x) + C

Resposta

int x^2 s e n ( 1 - x ) d x = cos (1 - x) ( x^2 - 2 ) + 2 x s e n (1 - x) + C

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