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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 105

Determine a integral indefinida (a primitiva mais geral). Verifique suas respostas por derivação.

∫ x 3 1 + x 4 - 1 4   d x

Passo 1

Para resolver essa integral, utilizaremos a seguinte mudança de variável:

u = 1 + x 4

Logo,

d u = 4 x 3 d x

Passo 2

Portanto, temos:

∫ x 3 1 + x 4 -   1 4   d x = ∫ 1 4 u -   1 4   d u = 1 4 ( u 1 - 1 4 ) 1 - 1 4 + c = 1 4 u 3 4 3 4 + c = 1 3 u 3 4 + c

Onde c é uma constante

Passo 3

Substituindo de volta o valor de u, temos:

1 3 u 3 4 + c = 1 3 1 + x 4 3 4 + c

Onde c é uma constante.

Passo 4

Conferindo por derivação:

f x = 1 3 1 + x 4 3 4 + c

f ' x = 3 4 . 1 3 1 + x 4 3 4 - 1 . 4 x 3 = x 3 1 + x 4 - 1 4

Vemos, portanto, que a primitiva está correta!

Resposta

f x = 1 3 1 + x 4 3 4 + c

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