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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 49

Calcule a integral usando integração por partes tabulada.

∫ 4 x 4 s e n 2 x d x

Passo 1

Podemos resolver o exercício utilizando Integração por partes tabulada, que consiste em derivar repetidamente uma das funções (geralmente o polinômio) até chegar em zero.

Após derivar repetidamente os termos, iremos traçar uma seta partindo da primeira entrada da coluna de derivação, até o ponto da coluna de integração na linha de baixo, e faremos isso até atingir o último termo e identificaremos com sinais + , - ... iniciando sempre com o sinal positivo. Bora lá?

Começando com a derivação repetida e integração repetida:

Agora, vamos considerar os favores interligados pela seta, como uma multiplicação, inclusive de sinais. Dessa forma:

∫ 4 x 4 s e n 2 x d x = 4 x 4 + - 1 2 cos ⁡ 2 x + 16 x 3 - - 1 4 s e n 2 x + 48 x 2 + 1 8 cos ⁡ 2 x + 96 x - 1 16 s e n 2 x + 96 + - 1 32 cos ⁡ 2 x

Multiplicando os termos, temos:

∫ 4 x 4 s e n 2 x d x = - 4 x 4 2 cos ⁡ 2 x + 16 x 3 4 s e n 2 x + 48 x 2 8 cos ⁡ 2 x - 96 x 16 s e n 2 x - 96 32 cos ⁡ 2 x

Dividindo os termos:

∫ 4 x 4 s e n 2 x d x = - 2 x 4 cos ⁡ 2 x + 4 x 3 s e n 2 x + 6 x 2 cos ⁡ 2 x - 6 x   s e n 2 x - 3 cos ⁡ 2 x

Isolando os termos em comum:

∫ 4 x 4 s e n 2 x d x = - cos ⁡ 2 x 2 x 4 - 6 x 2 + 3 + s e n 2 x 4 x 3 - 6 x + C

Resposta

∫ 4 x 4 s e n 2 x d x = - cos ⁡ 2 x 2 x 4 - 6 x 2 + 3 + s e n 2 x 4 x 3 - 6 x + C

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