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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.7 - Ex. 13

Encontre o centroide da região.

A região delimitada pelos gráficos de y = x 2 e x + y = 6

Passo 1

A ideia aqui é encontrar o centroide usando nossa fórmulinha:

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b x ( f x - g x ) d x

y - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

Passo 2

Vamos tentar achar os limitantes dessa região no eixo x e no eixo y .

Em x , precisamos igualar as duas equações:

y = x 2 ,     y + x = 6

x 2 + x = 6

Resolvendo a equação:

x = - 3 ,     x = 2

Podemos então dizer que:

- 3 < x < 2

Para y , eu vou te dar um bizu. Sempre que tem uma parábola e uma reta, é só olhar a concavidade da parábola para saber se ela limita região por cima ou por baixo. Como a concavidade está voltada para cima, para essa região ser fechada, a reta precisa limitar a região por cima e a parábola por baixo.

Passo 3

Vamos achar as coordenadas do centroide por integração. Primeiro a coordenada x - :

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b x ( f x - g x ) d x

No eixo y , nossa região está entre y = f x = 6 - x (por cima) e y = g x = x 2 (por baixo). E em x , entre - 3 e 2 .

A gente pode calcular a área pela integral:

á r e a   d e   R = ∫ - 3 2 6 - x - x 2 d x = 125 6

Nossa integral fica:

x - = 6 125   ∫ - 3 2 x ( 6 - x - x 2 ) d x

Fazendo a distributiva e calculando a integral de polinômios:

x - = - 1 2

Passo 4

Agora a coordenada y - :

y - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

y - = 6 125   ∫ - 3 2 1 2 6 - x 2 - x 4 d x

Elevando a função ao quadrado e calculando a integral de polinômios que aparecer:

y - = 4

Resposta

x - , y - = - 1 2 , 4

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