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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 55

  1. Encontre a área da região delimitada por y = l n ⁡ ( x ) , a reta x = e e o e i x o   x .
  2. Encontre o volume do sólido gerado quando a região do item (a) gira em torno do e i x o   x .

Passo 1

  1. Temos que encontrar a área da região delimitada por y , sendo a reta x = e e o eixo x . Se :

y = 0

ln ⁡ x = 0

x = 1

Portanto, os limites de integração são x = 1   e x = e .

Sabendo que Integral é a área sob a curva:

Á r e a = ∫ 1 e ln ⁡ x d x

Para utilizar integração por partes do tipo:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Chamaremos:

u = ln ⁡ x

d u = d x x

d v = d x

v = x

Substituindo na fórmula, temos:

∫ 1 e ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x - ∫ d x

Resolvendo:

∫ 1 e ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x - x 1 e

Ficamos com:

∫ 1 e ln ⁡ x d x = e ln ⁡ e - e - 1 ln ⁡ 1 - 1 = 1

Á r e a = ∫ 1 e ln ⁡ x d x = 1

Passo 2

O volume do sólido gerado quando a região na parte (a) gira em torno do eixo x :

V = π ∫ 1 e ln ⁡ x 2 d x

Quando usamos integração por partes:

u = ln ⁡ x 2

d u = 2 ln ⁡ x d x x

d v = d x

v = x

Substituindo, temos:

V = π u v - π ∫ v d u 1 e

V = π x ln ⁡ x 2 - π ∫ 2 ln ⁡ x d x 1 e

Se ∫ a b ln ⁡ x d x = b ln ⁡ b - b - a ln ⁡ a - a

Então:

V = π e ln ⁡ e 2 - 1 . ln ⁡ 1 2 - 2 π 1 = π ( e - 2 )

Resposta

Á r e a = ∫ 1 e ln ⁡ x d x = 1

V = π ( e - 2 )

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