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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 20

Calcule a integral sem usar tabelas

int_0^(oo) (16 * a r c t g (x))/(1 + x^2) d x

Passo 1

Se tratando de integrais impróprias, utilizamos uma mesma técnica com algumas variações

(i) : int_a^(oo) f ( x ) d x = underset(b -> oo)(lim) int_a^b f (x) d x

(i i) : int_(- oo)^a f ( x ) d x = underset(b -> oo)(lim) int_b^a f ( x ) d x

(i i i) : int_(- oo)^(oo) f ( x ) d x = int_(- oo)^c f ( x ) d x + int_c^(oo) f ( x ) d x , c é u m n ú m e r o q u a l q u e r

Passo 2

Vamos, antes de tudo, fazer uma substituição simples de tal forma que nosso cálculo seja simplificado e, já vamos fazer uma alteração nos limites de integração

int_0^(oo) (16 * a r c t g (x))/(1 + x^2) d x

Fazendo u = a r c t g (x) -> (d u)/(d x) = (1)/(1 + x^2) -> d u = (d x)/(1 + x^2) . Avaliando, agora, os limites de integração vamos ter: quando x = 0 -> u = 0 e quando x = oo -> u = (pi)/(2) . Dessa forma,

int_0^((pi)/(2)) 16 * u d x = [(16 u^2)/(2)] ((pi)/(2))/(0) = 8 * [((pi)/(2))^2 - 0] = 8 * (pi^2)/(4) = 2 pi^2

Resposta

2 pi^2

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Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule a convergente ∫ 2 ∞e - 5 p d p
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ - ∞ 0 1 3 - 4 x d x
Encontre os valores de p para os quais a integral converge e calcule a integral para esses valores de p . ∫ e ∞ 1 x l n x pd x
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule a convergente ∫ 2 ∞ ye - 3 y d y
Seja f x = 30 x 2 ( 1 - x 2 ) para 0 ≤ x ≤ 1 e f x = 0 para todos os outros valores de x.(a) Verifique sef é uma função densidade de probabilidade.(b) Encontre P ( X ≤ 1 3 ) .