Calcule a integral sem usar tabelas

∫ 0 ∞ 16 ⋅ a r c t g x 1 + x 2   d x  

Passo 1

Se tratando de integrais impróprias, utilizamos uma mesma técnica com algumas variações

i :       ∫ a ∞ f ( x )   d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ a b f x d x

i i :       ∫ - ∞ a f ( x )   d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ b a f ( x )   d x

i i i :       ∫ - ∞ ∞ f ( x )   d x = ∫ - ∞ c f ( x )   d x + ∫ c ∞ f ( x )   d x   ,   c   é   u m   n ú m e r o   q u a l q u e r

Passo 2

Vamos, antes de tudo, fazer uma substituição simples de tal forma que nosso cálculo seja simplificado e, já vamos fazer uma alteração nos limites de integração

∫ 0 ∞ 16 ⋅ a r c t g x 1 + x 2   d x

Fazendo u = a r c t g x → d u d x = 1 1 + x 2 → d u = d x 1 + x 2   . Avaliando, agora, os limites de integração vamos ter: quando x = 0 → u = 0 e quando x = ∞ → u = π 2 . Dessa forma,

∫ 0 π 2 16 ⋅ u   d x = 16 u 2 2 π 2 0 = 8 ⋅ π 2 2 - 0 = 8 ⋅ π 2 4 = 2 π 2

Resposta

2 π 2

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