Calcule a integral sem usar tabelas

∫ - ∞ ∞ 2 x   d x ( x 2 + 1 ) ²  

Passo 1

Se tratando de integrais impróprias, utilizamos uma mesma técnica com algumas variações

i :       ∫ a ∞ f ( x )   d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ a b f x d x

i i :       ∫ - ∞ a f ( x )   d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ b a f ( x )   d x

i i i :       ∫ - ∞ ∞ f ( x )   d x = ∫ - ∞ c f ( x )   d x + ∫ c ∞ f ( x )   d x   ,   c   é   u m   n ú m e r o   q u a l q u e r

No entanto, vamos resolver primeiro a integral de forma indefinida e, depois, nesse resultado aplicaremos o limite.

Passo 2

Vamos, então, resolver nossa integral

∫ 2 x   d x ( x 2 + 1 ) ²

Fazendo u = x 2 + 1 → d u d x = 2 x → d u = 2 x   d x

∫ d u u 2 = u - 2 + 1 - 2 + 1 =   - 1 u + C

Retornando à variável x teremos

- 1 x 2 + 1 + C

Passo 3

Aplicando, agora, a forma ( i i i ) descrita no primeiro passo vamos obter

∫ - ∞ ∞ 2 x   d x ( x 2 + 1 ) ² = ∫ - ∞ 1 2 x   d x ( x 2 + 1 ) ² + ∫ 1 ∞ 2 x   d x ( x 2 + 1 ) ²

∫ - ∞ 1 2 x   d x ( x 2 + 1 ) ² + ∫ 1 ∞ 2 x   d x ( x 2 + 1 ) ² = lim b → - ∞ ⁡ - 1 x 2 + 1 1 b + lim c → ∞ ⁡ - 1 x 2 + 1 c 1 =

lim b → - ∞ ⁡ - 1 2 + 1 b 2 + 1 +   lim c → ∞ ⁡ - 1 c 2 + 1 + 1 2 =   - 1 2 + 1 2 = 0

Resposta

0

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