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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 13

Calcule a integral sem usar tabelas

int_(- oo)^(oo) (2 x d x)/(( x^2 + 1 ) ²)

Passo 1

Se tratando de integrais impróprias, utilizamos uma mesma técnica com algumas variações

(i) : int_a^(oo) f ( x ) d x = underset(b -> oo)(lim) int_a^b f (x) d x

(i i) : int_(- oo)^a f ( x ) d x = underset(b -> oo)(lim) int_b^a f ( x ) d x

(i i i) : int_(- oo)^(oo) f ( x ) d x = int_(- oo)^c f ( x ) d x + int_c^(oo) f ( x ) d x , c é u m n ú m e r o q u a l q u e r

No entanto, vamos resolver primeiro a integral de forma indefinida e, depois, nesse resultado aplicaremos o limite.

Passo 2

Vamos, então, resolver nossa integral

int (2 x d x)/(( x^2 + 1 ) ²)

Fazendo u = x^2 + 1 -> (d u)/(d x) = 2 x -> d u = 2 x d x

int (d u)/(u^2) = (u^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) = - (1)/(u) + C

Retornando à variável x teremos

- (1)/(x^2 + 1) + C

Passo 3

Aplicando, agora, a forma ( i i i ) descrita no primeiro passo vamos obter

int_(- oo)^(oo) (2 x d x)/(( x^2 + 1 ) ²) = int_(- oo)^1 (2 x d x)/(( x^2 + 1 ) ²) + int_1^(oo) (2 x d x)/(( x^2 + 1 ) ²)

int_(- oo)^1 (2 x d x)/(( x^2 + 1 ) ²) + int_1^(oo) (2 x d x)/(( x^2 + 1 ) ²) = underset(b -> - oo)(lim) [- (1)/(x^2 + 1)] (1)/(b) + underset(c -> oo)(lim) [- (1)/(x^2 + 1)] (c)/(1) =

underset(b -> - oo)(lim) [- (1)/(2) + (1)/(b^2 + 1)] + underset(c -> oo)(lim) [- (1)/(c^2 + 1) + (1)/(2)] = - (1)/(2) + (1)/(2) = 0

Resposta

0

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