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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 18

Calcule a integral sem usar tabelas

int_1^(oo) (d x)/(x * sqrt(x^2 - 1))

Passo 1

Se tratando de integrais impróprias, utilizamos uma mesma técnica com algumas variações

(i) : int_a^(oo) f ( x ) d x = underset(b -> oo)(lim) int_a^b f (x) d x

(i i) : int_(- oo)^a f ( x ) d x = underset(b -> oo)(lim) int_b^a f ( x ) d x

(i i i) : int_(- oo)^(oo) f ( x ) d x = int_(- oo)^c f ( x ) d x + int_c^(oo) f ( x ) d x , c é u m n ú m e r o q u a l q u e r

Passo 2

Como o ponto x = 1 resulta em um problema no domínio da nossa função teremos que aplicar a variação ( i i i ) para resolvermos o problema, assim

int_1^(oo) (d x)/(x * sqrt(x^2 - 1)) = int_1^2 (d x)/(x * sqrt(x^2 - 1)) + int_2^(oo) (d x)/(x * sqrt(x^2 - 1))

underset(b -> 1^+)(lim) int_b^2 (d x)/(x * sqrt(x^2 - 1)) + underset(c -> oo)(l i m) int_2^c (d x)/(x * sqrt(x^2 - 1)) =

underset(b -> 1^+)(l i m) [arcsec (x)] (2)/(b) + underset(c -> oo)(l i m) [arcsec (x)] (c)/(2) =

underset(b -> 1^+)(l i m) [arcsec (2) - a r c s e c ( b )] + underset(c -> oo)(l i m) [arcsec (c) - a r c s e c ( 2 )] =

underset(b -> 1^+)(l i m) [(pi)/(3) - arcsec (b)] + underset(c -> oo)(l i m) [arcsec (c) - (pi)/(3)] =

[(pi)/(3) - 0] + [(pi)/(2) - (pi)/(3)] = (pi)/(2)

Resposta

(pi)/(2)

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