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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 19

Calcule a integral sem usar tabelas

int_0^(oo) (d v)/((1 + v^2) * (1 + a r c t g ( v )))

Passo 1

Se tratando de integrais impróprias, utilizamos uma mesma técnica com algumas variações

(i) : int_a^(oo) f ( x ) d x = underset(b -> oo)(lim) int_a^b f (x) d x

(i i) : int_(- oo)^a f ( x ) d x = underset(b -> oo)(lim) int_b^a f ( x ) d x

(i i i) : int_(- oo)^(oo) f ( x ) d x = int_(- oo)^c f ( x ) d x + int_c^(oo) f ( x ) d x , c é u m n ú m e r o q u a l q u e r

Passo 2

Primeiramente, façamos uma substituição simples para simplificar nossa resolução. Assim,

int_0^(oo) (d v)/((1 + v^2) * (1 + a r c t g ( v )))

Fazendo u = 1 + a r c t g (v) -> (d u)/(d v) = (1)/(1 + v^2) -> d u = (d v)/(1 + v^2) . Analisando os limites de integração para essa nova variável teremos: quando v = 0 -> u = 1 e quando v = oo -> u = 1 + (pi)/(2) , dessa forma

int_1^(1 + (pi)/(2)) (d u)/(u) = [ln |u|] (1 + (pi)/(2))/(1) = ln | 1 + (pi)/(2) | - ln 1 = ln ( 1 + (pi)/(2) )

Resposta

ln ( 1 + (pi)/(2) )

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