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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 20

Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação.

∫ 1 - 2 t 3 t 3   d t

Passo 1

E ae, galerinha! Precisamos lembrar do Teorema 5.2 . 3 (na página 325 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON) e usar o caso adequado para o exercício em questão. Visto que o enunciado não dá a fórmula a ser usada, temos que ver a Tabela 5.2 . 1 (na página 324 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON) e procurar a fórmula que possa ser usada.

Passo 2

Então, agora temos que fazer as mudanças necessárias no integrando para facilitar o nosso cálculo.

Visto que o integrando é a razão entre funções exponenciais com a mesma base t , podemos separar cada divisão e aplicar a propriedade de potenciação adequada para cada um. Logo:

∫ 1 - 2 t 3 t 3   d t = ∫ 1 t 3 - 2 d t

E isso resulta em:

= ∫ t - 3 - 2 d t

Além disso, observando o Teorema 5.2 . 3 , podemos concluir que a integral do nosso caso se encaixa nos casos a e c .

Passo 3

Com isso, aplicando o Teorema teremos:

∫ t - 3 - 2 d t = ∫ t - 3 d t - 2 ∫ d t

Tal que o resultado é:

∫ 1 - 2 t 3 t 3   d t = t - 3 + 1 - 3 + 1 - 2 t + C

∫ 1 - 2 t 3 t 3   d t = t - 2 - 2 - 2 t + C

Passo 4

Como foi pedido no enunciado, é necessário verificar essa resposta pela diferenciação, ou seja, através da derivação.

Derivando esse último resultado:

d d t t - 2 - 2 - 2 t + C = - 2   t - 2 - 1 - 2 - 2 + 0

d d t t - 2 - 2 - 2 t + C = t - 3 - 2 = 1 t 3 - 2

E igualando o denominador:

= 1 - 2 t 3 t 3

Que é o mesmo valor do integrando inicial.

Resposta

∫ 1 - 2 t 3 t 3   d t = t - 2 - 2 - 2 t + C

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