Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 35

Calcule a integral

∫ 1 1 + s e n x d x

Multiplicando o numerador e o denominador por uma expressão apropriada.

Passo 1

Bom, pessoal, de cara conseguimos ver que não é tão simples encontrar a expressão certa nesse caso e que será preciso pensarmos na teoria, em exercícios já feitos antes, etc.

Uma coisa que precisamos lembrar é a Tabela 5.2 . 1 na página 324 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON, na qual estão várias fórmulas prontas para integração.

Outra coisa que devemos analisar é o fato do denominador ser composto por uma soma e não por uma única função simples. Para facilitar, uma boa ideia é transformar essa soma em uma função simples.

Passo 2

Então, para fazer primeiro a transformação citada, podemos multiplicar o numerador e o denominador por 1 - s e n x , tal que:

∫ 1 1 + s e n x 1 - s e n x 1 - s e n x d x = ∫ 1 - s e n x 1 - s e n 2 x d x

Agora, aplicamos a identidade trigonométrica:

c o s 2 x = 1 - s e n 2 x

E conseguimos:

∫ 1 - s e n x 1 - s e n 2 x d x = ∫ 1 - s e n x cos 2 ⁡ x d x

Neste resultado, observando o Teorema 5.2 . 3 na página 325 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON, podemos concluir que essa última integral se encaixa no caso c . Aplicando esse teorema:

∫ 1 - s e n x cos 2 ⁡ x d x = ∫ 1 cos 2 ⁡ x d x - ∫ s e n x cos 2 ⁡ x d x

Que pode ser reescrito como:

∫ 1 cos 2 ⁡ x d x - ∫ s e n x cos 2 ⁡ x d x = ∫ sec 2 ⁡ x d x - ∫ t g x sec ⁡ x d x

Passo 3

Logo, olhando na tabela de integrais podemos calcular essas integrações obtendo:

∫ sec 2 ⁡ x d x - ∫ t g x sec ⁡ x d x = t g x - sec ⁡ x + C

Resposta

∫ 1 1 + s e n x d x = t g x - sec ⁡ x + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O que é uma curva integral de uma função f ? Qual é a relação entre duas curvas integrais quaisquer de uma função f ?
Calcule a integral reescrevendo apropriadamente o integrando, se necessário, e então aplique a regra da potência (Fórmula 2 na Tabela 5.2 . 1 ). ∫ 1 x 6 d x
Calcule cada integral aplicando adequadamente o Teorema 5.2 . 3 e a Fórmula 2 na Tabela 5.2 . 1 . ∫ x - 3 - 3 x 1 4 + 8 x 2 d x
Calcule a integral reescrevendo apropriadamente o integrando, se necessário, e então aplique a regra da potência (Fórmula 2 na Tabela 5.2 . 1 ). ∫ x 3 x d x
Encontre a derivada e enuncie a fórmula de integração correspondente.