Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 33

Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação.

∫ 1 2 1 - x 2 - 3 1 + x 2 d x

Passo 1

Faaaala, belezinhas do Responde Aí!! Pra começarmos esse exercício, algumas coisas são essenciais. Por exemplo, precisamos lembrar do Teorema 5.2 . 3 (na página 325 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON) e usar o caso adequado para o exercício em questão. Visto que o enunciado não dá a fórmula a ser usada, temos que ver a Tabela 5.2 . 1 (na página 324 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON) e procurar a fórmula que possa ser usada.

Passo 2

Então, agora temos que fazer as mudanças necessárias no integrando para facilitar o nosso cálculo.

A integral em si se identifica com os casos a e c do Teorema 5.2 . 3 . Portanto:

∫ 1 2 1 - x 2 - 3 1 + x 2 d x = 1 2 ∫ 1 1 - x 2 d x - 3 ∫ 1 1 + x 2 d x

Visto que ambos os termos das integrais possuem uma fórmula definida para o cálculo na Tabela 5.2 . 1 , não é necessário realizar nenhuma mudança na sua forma.

Passo 3

Com isso, usando a fórmula adequada da Tabela de integração, temos:

1 2 ∫ 1 1 - x 2 d x - 3 ∫ 1 1 + x 2 d x = 1 2 a r c s e n x - 3 a r c t g x + C

Passo 4

Como foi pedido no enunciado, é necessário verificar essa resposta pela diferenciação, ou seja, através da derivação.

Derivando esse último resultado:

d d x 1 2 a r c s e n x - 3 a r c t g x + C = 1 2 1 1 - x 2 - 3 1 1 + x 2 + 0

Podemos reescrever isso como:

d d x 1 2 a r c s e n x - 3 a r c t g x + C = 1 2 1 - x 2 - 3 1 + x 2

Que é o mesmo valor do integrando inicial.

Resposta

∫ 1 2 1 - x 2 - 3 1 + x 2 d x = 1 2 a r c s e n x - 3 a r c t g x + C

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