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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 11

Calcule a integral.

11. int_0^1 (2)/(2 x^2 + 3 x + 1) d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? Nesse problema queremos calcular a integral:

int_0^1 (2)/(2 x^2 + 3 x + 1) d x

Parece dificil?!

Integrais com divisões entre polinômios ou com polinômios no denominador, geralmente a gente resolve pelo método das frações parciais.

Pra esse polinômio de 2° grau no denominador, a gente pode simplificá-lo fatorando ele.

Veja só!

Passo 2

Por bhaskara, a gente tem:

2 x^2 + 3 x + 1 = 0

x = (- 3 +- sqrt(3^2 - 4 xx 2 xx 1))/(2 * 2)

x = (- 3 +- sqrt(9 - 8))/(4) = (- 3 +- sqrt(1))/(4) = {[[x_1 = - 1],[x_2 = - (1)/(2)]])

Então, podemos reescrever o polinômio da seguinte forma:

2 x^2 + 3 x + 1 = 2 * (x + 1) xx (x + (1)/(2))

2 x^2 + 3 x + 1 = (x + 1) (2 x + 1)

Reescrevemos nossa função da seguinte forma:

(2)/(2 x^2 + 3 x + 1) = (A)/((x + 1)) + (B)/((2 x + 1))

Aqui, nosso trabalho vai ser determinar os fatores A e B . Tiramos o MMC pros denominadores e escrevemos:

(A)/((x + 1)) + (B)/((x + (1)/(2))) = (A xx (2 x + 1) + B xx (x + 1))/(2 x^2 + 3 x + 1) = (2)/(2 x^2 + 3 x + 1)

Se os denominadores são iguais, podemos cortá-los e escrever:

A xx (2 x + 1) + B xx (x + 1) = 2

Passo 3

Reescrevendo a equação acima temos:

2 A x + A + B + B x = 0

x (2 A + B) + A + B = 2

Pra isso ser verdade, então:

A + B = 2

2 A + B = 0 -> - 2 A = B

Logo:

A - 2 A = 2

A = - 2

Podemos achar B :

B = - 2 A = 4

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 4

Obtendo os fatores, a gente conseguiu reescrever a função da integral da seguinte forma:

(2)/(2 x^2 + 3 x + 1) = (- 2)/((x + 1)) + (4)/((2 x + 1))

Agora, substituímos isso dentro da nossa integral e calculamos mais facilmente:

int_0^1 (2)/(2 x^2 + 3 x + 1) d x = int_0^1 ((- 2)/((x + 1)) + (4)/((2 x + 1))) d x

Começamos por separar essa integralzona em duas, que facilida nossa vida

int_0^1 ((- 2)/((x + 1)) + (4)/((2 x + 1))) d x = int_0^1 (- 2)/(x + 1) d x + int_0^1 (4)/((2 x + 1)) d x

Resolvemos as duas integrais diretamente, na ordem que aparecem. Teremos:

int_0^1 (- 2)/(x + 1) d x = - 2 xx int_0^1 (1)/(x + 1) d x = - 2 xx ((ln |x + 1||_0^1)

int_0^1 (- 2)/(x + 1) d x = - 2 xx (ln |1 + 1| - ln |0 + 1|)

int_0^1 (- 2)/(x + 1) d x = - 2 xx (ln |2| - ln |1|)

int_0^1 (- 2)/(x + 1) d x = - 2 xx (ln |2| - 0) = - 4 * ln |2|

int_0^1 (- 2)/(x + 1) d x = - 2 xx ln 2

Está acompanhando?

Passo 5

Agora, a segunda:

int_0^1 (4)/(2 x + 1) d x = 4 xx int_0^1 (1)/(2 x + 1) d x = 4 xx ((ln |2 x + 1||_0^1)

int_0^1 (4)/(2 x + 1) d x = 4 xx (ln |2 + 1| - ln |0 + 1|)

int_0^1 (4)/(2 x + 1) d x = 4 xx (ln ��� |3| - ln |1|)

int_0^1 (4)/(2 x + 1) d x = 4 xx (ln |3| - 0)

int_0^1 (4)/(2 x + 1) d x = 4 ln |3|

Tendo o resultado das duas integrais, voltamos aos colchetes com as integrais e substituímos pelos resultados:

[int_0^1 (- 2)/(x + 1) d x + int_0^1 (4)/(2 x + 1) d x] = [- 2 ln 2 + 4 ln 3]

int_0^1 (2)/(2 x^2 + 3 x + 1) d x = - 2 ln 2 + 4 ln 3

Prontinho!

Resposta

int_0^1 (2)/(2 x^2 + 3 x + 1) d x = - 2 ln 2 + 4 ln 3

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