34. Encontre f

f'(t) = t + 1 / t^3, t > 0; f(1) = 6

Passo 1

E aí, blz?

Esse exercício quer que entremos uma função que quando derivada nos de:

f ' t = t + 1 t 3

E tem mais, essa função quando t = 1 , f ( 1 ) = 6 , e é dessa forma que vamos encontrar o valor da constante C . E assim teremos uma f ( t ) e a questão resolvida!

Animados? Bora lá!

Passo 2

Então vamos achar a primitiva de f ' ( x ) , isto é, f ( x ) :

f ' t = t + 1 t 3

Reescrevendo, temos:

f ' t = t + t - 3

Antes de começarmos, vamos relembrar uma coisa, a primitiva/integral de uma função potencial é dada dessa forma:

  f x = x n → F x = x n + 1 n + 1 + C   quando   n   ≠ - 1

Aplicando na nossa função:

f t = t 1 + 1 1 + 1 + t - 3 + 1 - 3 + 1 + C

Logo,

f t = t 2 2 - t - 2 2 + C

Passo 3

Agora vamos usar a segunda condição:

f 1 = 6

Do passo 2:

f t = t 2 2 - t - 2 2 + C

Logo, substituindo t por 1 .

f 1 = 1 2 - 1 2 + C = 6

Usando que f 1 = 6

C = 6

Agora é só reescrever f x tudinho:

f x = t 2 2 - t - 2 2 + 6

E prontinho, temos a nossa f .

Resposta

f x = t 2 2 - t - 2 2 + 6

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