∫ 1 16 x 4 - 8 x 2 + 1 d x

Passo 1

Primeiro vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

∫ 1 ( 2 x - 1 ) 2 ( 2 x + 1 ) 2 d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

1 ( 2 x - 1 ) 2 ( 2 x + 1 ) 2 = A ( 2 x - 1 ) 2 + B ( 2 x - 1 ) + C ( 2 x + 1 ) 2 + D ( 2 x - 1 )

Isolando   1 , vamos achar

1 = A ( 2 x + 1 ) 2 + B ( 2 x - 1 ) 2 x + 1 2 + C ( 2 x - 1 ) 2 + D ( 2 x - 1 ) 2 ( 2 x + 1 )

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = 1 4 ;                     B = - 1 4 ;                   C = 1 4 ;                         D = 1 4

Agora substituindo os valores de A, B, C e D temos:

1 ( 2 x - 1 ) 2 ( 2 x + 1 ) 2 = 1 4 ( 2 x - 1 ) 2 + - 1 4 ( 2 x - 1 ) + 1 4 ( 2 x + 1 ) 2 + 1 4 ( 2 x - 1 )

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

∫ 1 ( 2 x - 1 ) 2 ( 2 x + 1 ) 2 d x = ∫ 1 4 ( 2 x - 1 ) 2 d x + ∫ - 1 4 ( 2 x - 1 ) d x + ∫ 1 4 ( 2 x + 1 ) 2 d x            

+ ∫ 1 4 ( 2 x - 1 ) d x

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

∫ 1 ( 2 x - 1 ) 2 ( 2 x + 1 ) 2 d x = 1 / 8   ( ( 4   x ) / ( 1   -   4   x ^ 2 )   -   l o g ( 1   -   2   x )   +   l o g ( 1   +   2   x ) )

Resposta

∫ 1 16 x 4 - 8 x 2 + 1 d x = 1 / 8   ( ( 4   x ) / ( 1   -   4   x ^ 2 )   -   l o g ( 1   -   2   x )   +   l o g ( 1   +   2   x ) ) + c

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