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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.5 - Ex. 20

int (1)/(16 x^4 - 8 x^2 + 1) d x

Passo 1

Primeiro vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

int (1)/(( 2 x - 1 )^2 ( 2 x + 1 )^2) d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(1)/(( 2 x - 1 )^2 ( 2 x + 1 )^2) = (A)/(( 2 x - 1 )^2) + (B)/(( 2 x - 1 )) + (C)/(( 2 x + 1 )^2) + (D)/(( 2 x - 1 ))

Isolando 1 , vamos achar

1 = A ( 2 x + 1 )^2 + B ( 2 x - 1 ) (2 x + 1)^2 + C ( 2 x - 1 )^2 + D ( 2 x - 1 )^2 ( 2 x + 1 )

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = (1)/(4) ; B = - (1)/(4) ; C = (1)/(4) ; D = (1)/(4)

Agora substituindo os valores de A, B, C e D temos:

(1)/(( 2 x - 1 )^2 ( 2 x + 1 )^2) = ((1)/(4))/(( 2 x - 1 )^2) + (- (1)/(4))/(( 2 x - 1 )) + ((1)/(4))/(( 2 x + 1 )^2) + ((1)/(4))/(( 2 x - 1 ))

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (1)/(( 2 x - 1 )^2 ( 2 x + 1 )^2) d x = int ((1)/(4))/(( 2 x - 1 )^2) d x + int (- (1)/(4))/(( 2 x - 1 )) d x + int ((1)/(4))/(( 2 x + 1 )^2) d x

+ int ((1)/(4))/(( 2 x - 1 )) d x

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

int (1)/(( 2 x - 1 )^2 ( 2 x + 1 )^2) d x = 1 // 8 ( ( 4 x ) // ( 1 - 4 x ^ 2 ) - l o g ( 1 - 2 x ) + l o g ( 1 + 2 x ) )

Resposta

int (1)/(16 x^4 - 8 x^2 + 1) d x = 1 // 8 ( ( 4 x ) // ( 1 - 4 x ^ 2 ) - l o g ( 1 - 2 x ) + l o g ( 1 + 2 x ) ) + c

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