Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 18
Calcule a integral
18.
Passo 1
Pra esse tipo de integral, que envolve produto de potências de seno e cosseno, temos duas regras gerais básicas pra resolver:
Se algum dos expoentes for ímpar, usamos a relação e depois substituição simples.
Se ambos os expoentes forem pares, usamos as relações e , e depois substituição simples.
Nisso, temos que aplicar o resultado da integral nos valores da integral, subtraindo o de cima pelo de baixo. Esse é o Teorema Fundamental do Cálculo, usado nas integrais definidas.
Passo 2
Sendo os expoentes pares, usamos a segunda relação. Vamos ter:
Desenvolvemos o produto:
Isolamos a constante pra fora da integral e separamos em duas integrais:
Passo 3
Agora resolvemos essa integrais, na ordem que estão. Não esquecendo de multiplicar por no final! Teremos:
Aqui usamos de novo a segunda propriedade, que usamos no começo da resolução:
Passamos a constante pra fora da integral, separamos em duas integrais, e resolvemos na ordem em que aparecem:
Somamos os resultados obtidos, que são resultado da integral original. Temos:
Passo 4
Já temos resolvidos todas as partes da integral, já podemos somar tudo e obter o resultado final! Lembre de multiplicar pelas frações que passamos pra fora das integrais. Vamos ter: