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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.3 - Ex. 26

Nos Exercícios de 1 a 30, calcule a integral indefinida.

26 )   ∫ c o s e c 4 ( x ) cotg ²   ⁡ ( x ) . d x    

Passo 1

Para começarmos a resolver a integral devemos abrir a integral usando:

c o s e c   x = 1 s e n x

c o t g   x = cos ⁡ ( x ) s e n x

Então:

∫ c o s e c 4 ( x ) cotg ²   ⁡ ( x ) . d x     = ∫ 1 s e n 4 x . sen ² ⁡ ( x ) c o s ² x . d x = ∫ 1 s e n 2 x . 1 c o s ² x . d x

Lembrando que

s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

c o s 2 x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

∫ 1 s e n 2 x . 1 c o s ² x . d x = ∫ 2 ( 1 - cos ⁡ 2 x ) . 2 ( 1 + cos ⁡ 2 x ) . d x = ∫ 4 1 - cos ² ⁡ 2 x . d x

Chamamos:

u = 2 x

d u = 2 . d x

d u 2 = d x

∫ 4 1 - cos ² ⁡ 2 x . d x = 1 2 ∫ 4 1 - cos ² ⁡ u . d u

Se usarmos:

s e n 2 u + c o s 2 u = 1

s e n 2 u = 1 - c o s 2 u

1 2 ∫ 4 1 - cos ² ⁡ u . d u = 2 ∫ 1 s e n 2 u . d u = 2 ∫ c o s e c ²   u . d u = - 2 . c o t g   u = - 2 . c o t g   ( 2 x )

Resposta

∫ c o s e c 4 ( x ) cotg ²   ⁡ ( x ) . d x = - 2 . c o t g   ( 2 x ) + C

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