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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.3 - Ex. 31

Nos Exercícios de 31 a 36, calcule a integral definida.

31 )   ∫ π 16 π 12 t g ³   4 x . d x

Passo 1

Para começarmos a resolver a integral substituímos:

u = 4 x

d u = 4 . d x

d u 4 = d x

Então os intervalos de integração assumem:

u = 4 x = 4 . π 12 = π 3

u = 4 x = 4 . π 16 = π 4

∫ π 16 π 12 t g ³   4 x . d x = ∫ π 4 π 3 t g ³   u . d u 4 = 1 4 . ∫ π 4 π 3 t g ³   u . d u  

Usando:

t g ²   u = s e c ²   u - 1

= 1 4 . ∫ π 4 π 3 t g   u . t g ²   u . d u = 1 4 . ∫ π 4 π 3 t g   u . s e c ²   u - 1 . d u = 1 4 . ∫ π 4 π 3 t g   u . s e c ²   u . d u - ∫ π 4 π 3 t g   u . d u

Para a primeira fazemos uma nova substituição:

z = t g   u

d z = s e c ²   u . d u

∫ π 4 π 3 t g   u . s e c ²   u . d u = ∫ π 4 π 3 z . d z = z 2 2 = t g 2 u 2 |   π 3 π 4 = 1 2 t g 2 π 3 - t g 2 π 4   = 1 2 3 2 - 1 2 = 1

Para a segunda:

∫ π 4 π 3 t g   u . d u = ln ⁡ | cos ⁡ ( u ) | |   π 3 π 4 = ln ⁡ | cos ⁡ π 3 | - ln ⁡ cos ⁡ π 4 = ln ⁡ 1 2 - ln ⁡ 2 2 = ln ⁡ 1 2 2 2 = ln ⁡ 1 2 = ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2 1 2 = 0 - 1 2 ln ⁡ 2

Sendo assim:

= 1 4 . 1 - 1 2 ln ⁡ 2

Resposta

∫ π 16 π 12 t g ³   4 x . d x = 1 4 - 1 8 . ln ⁡ 2

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Resolva a integral abaixo:32 – int_(- pi )^(pi) (1 - c o s^2 t)^((3)/(2)) d t