Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 20

Calcule a integral.

int e^(3 x) cos 2 x d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra fazermos esse exercício vamos ter que resolver através do método da integração por partes. Nesse método, vamos utilizar as duas funções do integrando e transformá-las em outro fator mais fácil de calcular.

Então, pegando uma integral da forma:

int f (x) g (x) d x

Iremos fazer:

u = f (x) e d v = g (x) d x

E, a partir disso, vamos encontrar a derivada da função u e determinar a função v para substituir na fórmula da integral por partes dada por:

int u d v = u v - int v d u

Passo 2

Assim, para esse exercício temos:

int e^(3 x) cos 2 x d x

E supondo:

u = cos 2 x e d v = e^(3 x) d x

Conseguimos encontrar:

d u = - 2 s e n 2 x d x

E:

v = int e^(3 x) d x

Ou seja:

v = (e^(3 x))/(3)

Passo 3

Então, substituindo na fórmula da integração por partes:

int e^(3 x) cos 2 x d x = (cos 2 x) ((e^(3 x))/(3)) - int ((e^(3 x))/(3)) (- 2 s e n 2 x) d x

Que pode ser reescrita como:

int e^(3 x) cos 2 x d x = (e^(3 x))/(3) cos 2 x + (2)/(3) int e^(3 x) s e n 2 x d x

Passo 4

Aplicando a integração por partes novamente, agora supondo:

u = s e n 2 x e d v = e^(3 x) d x

Tal que:

d u = 2 cos 2 x d x

E:

v = (e^(3 x))/(3)

Teremos:

int e^(3 x) cos 2 x d x = (e^(3 x))/(3) cos 2 x + (2)/(3) [(s e n 2 x) ((e^(3 x))/(3)) - int ((e^(3 x))/(3)) (2 cos 2 x d x)]

Ou seja:

int e^(3 x) cos 2 x d x = (e^(3 x))/(3) cos 2 x + (2)/(3) [(1)/(3) e^(3 x) s e n 2 x - (2)/(3) int e^(3 x) cos 2 x d x]

Passo 5

Como há um termo semelhante nos dois lados da equação, podemos passar tudo para um lado só:

(1 + (4)/(9)) int e^(3 x) cos 2 x d x = (e^(3 x))/(3) cos 2 x + (2)/(9) e^(3 x) s e n 2 x + C

Logo:

int e^(3 x) cos 2 x d x = ((9)/(13)) ((e^(3 x))/(3) cos 2 x + (2)/(9) e^(3 x) s e n 2 x) + C

E tirando o fator comum:

int e^(3 x) cos 2 x d x = (1)/(13) e^(3 x) (3 cos 2 x + 2 s e n 2 x) + C

Resposta

int e^(3 x) cos 2 x d x = (1)/(13) e^(3 x) (3 cos 2 x + 2 s e n 2 x) + C

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