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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 49

Calcule as integrais nos Exercícios 33-50

49

int_((pi)/(6))^((pi)/(3)) c o t g^3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular a integral indefinida usando substituições trigonométricas.

Lembrando que c o t g (x) = (1)/(t g (x)) = (c o s ( x ))/(s e n ( x ))

Passo 2

Vamos lembrar um pouco de trigonometria para facilitar essa integral

c o t g^2 2 x = c s c^2 2 x - 1

Podemos reescrever a integral da seguinte forma

int_((pi)/(6))^((pi)/(3)) ( c s c^2 x - 1 ) c o t g x d x

Então fica

int_((pi)/(6))^((pi)/(3)) ( c s c^2 x * c o t g x - c o t g x ) d x

E então podemos separar em 2 integrais

int_((pi)/(6))^((pi)/(3)) ( c s c^2 x * c o t g x ) d x - int_((pi)/(6))^((pi)/(3)) ( c o t g x ) d x

Passo 3

Vamos analisar a primeira integral

int_((pi)/(6))^((pi)/(3)) ( c s c^2 x * c o t g x ) d x

Vamos usar a seguinte substituição

c o t g ( x ) = u - c s c^2 ( x ) d x = d u

int_((pi)/(6))^((pi)/(3)) - ( u ) d u

- ((u^2)/(2)) = - ((((pi)/(3))^2)/(2) - (((pi)/(6))^2)/(2)) = - (1)/(2) ((1)/(3) - 3) = (4)/(3)

Passo 4

Agora vamos analisar a segunda integral

int_((pi)/(6))^((pi)/(3)) ( c o t g x ) d x

Essa é um pouco mais simples.

A gente sabe que

c o t g x = (c o s ( x ))/(s e n ( x ))

Isso ainda não mudou.

Agora a gente pode fazer uma substituição de variável

u = sen (x) d u = c o s ( x ) d x

int_((pi)/(6))^((pi)/(3)) (1)/(u) d u = l n | u |

= l n | s e n ( x ) |

= ln |s e n ((pi)/(3))| - ln |s e n ((pi)/(6))| = ln ((sqrt(3))/(2)) - ln ((1)/(2)) = - l n sqrt(3)

Passo 5

Já temos os valores de todas integrais agora é só somar tudo

(4)/(3) - l n sqrt(3)

Resposta

(4)/(3) - l n sqrt(3)

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