Calcule as integrais nos Exercícios 33-50

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∫ π 6 π 3 c o t g 3 x   d x

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular a integral indefinida usando substituições trigonométricas.

Lembrando que   c o t g x = 1 t g x = c o s ⁡ ( x ) s e n ( x )

Passo 2

Vamos lembrar um pouco de trigonometria para facilitar essa integral

c o t g 2 2 x   = c s c 2 2 x - 1

Podemos reescrever a integral da seguinte forma

∫ π 6 π 3 ( c s c 2 x - 1 ) c o t g x   d x

Então fica

∫ π 6 π 3 ( c s c 2 x * c o t g x - c o t g x )   d x

E então podemos separar em 2 integrais

∫ π 6 π 3 ( c s c 2 x * c o t g x )   d x - ∫ π 6 π 3 ( c o t g x )   d x

Passo 3

Vamos analisar a primeira integral

∫ π 6 π 3 ( c s c 2 x * c o t g x )   d x

Vamos usar a seguinte substituição

c o t g ( x ) = u - c s c 2 ( x ) d x = d u

∫ π 6 π 3 - ( u )   d u

- u 2 2 = - π 3 2 2 - π 6 2 2 = - 1 2 1 3 - 3 = 4 3

Passo 4

Agora vamos analisar a segunda integral

∫ π 6 π 3 ( c o t g x )   d x

Essa é um pouco mais simples.

A gente sabe que

c o t g x = c o s ( x ) s e n ( x )

Isso ainda não mudou.

Agora a gente pode fazer uma substituição de variável

u = sen ⁡ x d u = c o s ( x ) d x

∫ π 6 π 3 1 u d u   = l n ⁡ | u   |

= l n ⁡ | s e n ⁡ ( x ) |

= ln ⁡ s e n π 3 - ln ⁡ s e n π 6 = ln ⁡ 3 2 - ln ⁡ 1 2 = - l n 3

Passo 5

Já temos os valores de todas integrais agora é só somar tudo

4 3 - l n 3

Resposta

4 3 - l n 3

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