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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.3 - Ex. 35

Calcule a integral:

35) ∫ 1 2 v ³ + 3 v 6 v 4 d v

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi pedido para calcularmos a integral

∫ 1 2 v 3 + 3 v 6 v 4 d v

Parece complicado?

Para responder esse problema vamos usar a parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Onde F x é a antiderivada de f x , ou seja, F ' x = f x .

Então o que precisamos fazer é encontrar a antiderivada de f v = v 3 + 3 v 6 v 4 e aplicar no teorema.

Podemos manipular a função f para deixá-la na forma potencial e calcular sua antiderivada pela regra da potência:

a x n → a x n + 1 n + 1 + C ,     n ≠ - 1

Mas também já adianto que vamos ter que usar também a regra para n = - 1

1 x → ln ⁡ x + C

Show?

Passo 2

Vamos começar manipulando f ...

f v = v 3 + 3 v 6 v 4 = v 3 v 4 + 3 v 6 v 4

f v = 1 v + 3 v 2

Calculando sua antiderivada pelas regras que vimos no passo 1, temos:

f v = 1 v + 3 v 2 → F v = ln ⁡ v + 3 v 2 + 1 2 + 1 + C

F v = ln ⁡ v + v 3 + C

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora é só substituir no TFC!

∫ a b f x d x = F b - F a

∫ 1 2 v ³ + 3 v 6 v 4 d v = ln ⁡ 2 + 2 3 + C - ln ⁡ 1 + 1 3 + C

∫ 1 2 v ³ + 3 v 6 v 4 d v = ln ⁡ 2 + 8 + C - 0 - 1 - C

Perceba que sempre que temos uma integral definida as constantes C se cancelam!

∫ 1 2 v ³ + 3 v 6 v 4 d v = ln ⁡ 2 + 7

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

∫ 1 2 v 3 + 3 v 6 v 4 d v = ln ⁡ 2 + 7

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