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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 13

Calcule a inversa da matriz dada ou mostre que ela é singular:

1 1 - 1 2 - 1 1 1 1 2

Passo 1

Vamos primeiro recordar o que é a matriz inversa. Uma matriz B é chamada de inversa de A se:

A B = B A = I

Em que I é a matriz identidade. A condição básica para que exista a matriz inversa é que det ⁡ A ≠ 0 . Caso det ⁡ A = 0 , a matriz A é chamada de singular e é não-inversível. Tudo bem??

Então, vamos ao exercício.

Passo 2

Nosso primeiro passo será calcular o determinante da matriz dada:

det ⁡ 1 1 - 1 2 - 1 1 1 1 2 =

1 1 - 1 2 - 1 1 1 1 2 =

1 x - 1 x 2 + 1 x 1 x 1 + - 1 x 2 x 1 - 1 x - 1 x - 1 - 1 x 1 x 1 - 2 x 2 x 1 = - 9

Então, a matriz é inversível. Vamos agora determinar a matriz inversa.

Passo 3

O método mais comum é o seguinte:

1 1 - 1 2 - 1 1 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Espelhar a matriz e a identidade. Em seguida vamos tentar transformar a matriz na matriz identidade:

1 1 - 1 2 - 1 1 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Vamos começar multiplicando a primeira linha por 2 e subtrair da segunda linha:

1 1 - 1 0 - 3 3 1 1 2 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1

Agora iremos subtrair a primeira da terceira linha:

1 1 - 1 0 - 3 3 0 0 3 1 0 0 - 2 1 0 - 1 0 1

Vamos agora dividir a segunda linha e a terceira linha por 3:

1 1 - 1 0 - 1 1 0 0 1 1 0 0 - 2 / 3 1 / 3 0 - 1 / 3 0 1 / 3

Nosso próximo passo será multiplicar a segunda linha por -1:

1 1 - 1 0 1 - 1 0 0 1 1 0 0 2 / 3 - 1 / 3 0 - 1 / 3 0 1 / 3

Iremos agora subtrair a segunda linha da primeira linha. Ficamos então com:

1 0 0 0 1 - 1 0 0 1 1 / 3 1 / 3 0 2 / 3 - 1 / 3 0 - 1 / 3 0 1 / 3

Vamos agora somar a terceira linha na segunda linha:

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 / 3 1 / 3 0 1 / 3 - 1 / 3 1 / 3 - 1 / 3 0 1 / 3

Então, a matriz inversa é:

1 / 3 1 / 3 0 1 / 3 - 1 / 3 1 / 3 - 1 / 3 0 1 / 3

Resposta

A matriz inversa é:

1 / 3 1 / 3 0 1 / 3 - 1 / 3 1 / 3 - 1 / 3 0 1 / 3

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