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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 6

Se A = ([[1,-,2,0],[3,2,-,1],[-,2,0,3]]) , B = ([[2,1,-,1],[-,2,3,3],[1,0,2]]) e C = ([[2,1,0],[1,2,2],[0,1,-,1]]) , verifique que

(a) (A B) C = A ( B C )

(b) (A + B) + C = A + ( B + C )

(c) A (B + C) = A B + A C

Passo 1

Para começar vamos relembrar algumas propriedades de matrizes:

Imagine duas matrizes A = ([[a_11,a_12],[a_21,a_22]]) e B = ([[b_11,b_12],[b_21,b_22]])

A primeira propriedade que veremos é a soma de matrizes. Esta operação só pode ser feita se as duas matrizes possuem o mesmo número de linhas e colunas. E é dada por:

A + B = ([[a_11,a_12],[a_21,a_22]]) + ([[b_11,b_12],[b_21,b_22]]) = ([[a_11,+,b_11,a_12,+,b_12],[a_21,+,b_21,a_22,+,b_22]])

Ou seja, a soma de matrizes gera uma nova matriz com o mesmo tamanho das matrizes que a geraram e cada termo é a soma dos termos equivalentes nas matrizes originárias.

Vamos rever agora a multiplicação de matrizes. A primeira coisa que precisamos saber é que a ordem dos fatores é importante, ou seja, A B != B A . Além disso, para realizar esta operação é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda. Esta operação é descrita por:

A B = ([[a_11,a_12],[a_21,a_22]]) ([[b_11,b_12],[b_21,b_22]]) =

([[a_11,b_11,+,a_12,b_21,a_11,b_12,+,a_12,b_22],[a_21,b_11,+,a_22,b_21,a_21,b_12,+,a_22,b_22]]) = C

Ou você pode pensar que o termo c_i j da matriz C é:

c_i j = sum_(k = 1)^n a_i k x b_k j

Agora que já recordamos algumas propriedades de matrizes iremos aplicá-las para resolver os problemas propostos. Tudo bem???

Passo 2

O item (a) nos pede para calcular (A B) C e A ( B C ) . Vamos lá??? Primeiro vamos calcular a multiplicação A B :

A B =

([[1,-,2,0],[3,2,-,1],[-,2,0,3]]) x ([[2,1,-,1],[-,2,3,3],[1,0,2]]) =

([[1,x,2,+,(- 2),x,(- 2),+,0,x,1,1,x,1,+,(- 2),x,3,+,0,x,0,1,x,(- 1),+,(- 2),x,3,+,0,x,2],[3,x,2,+,2,x,(- 2),+,(- 1),x,1,3,x,1,+,2,x,3,+,(- 1),x,0,3,x,(- 1),+,2,x,3,+,(- 1),x,2],[-,2,x,2,+,0,x,(- 2),+,3,x,1,-,2,x,1,+,0,x,3,+,3,x,0,-,2,x,(- 1),+,0,x,3,+,3,x,2]]) =

([[6,-,5,-,7],[1,9,1],[-,1,-,2,8]])

Multiplicando essa matriz por C :

(A B) C =

([[6,-,5,-,7],[1,9,1],[-,1,-,2,8]]) x ([[2,1,0],[1,2,2],[0,1,-,1]]) =

([[6,x,2,+,(- 5),x,1,+,(- 7),x,0,6,x,1,+,(- 5),x,2,+,(- 7),x,1,6,x,0,+,(- 5),x,2,+,(- 7),x,(,-,1,)],[1,x,2,+,9,x,1,+,1,x,0,1,x,1,+,9,x,2,+,1,x,1,1,x,0,+,9,x,2,+,1,x,(,-,1,)],[-,1,x,2,+,(- 2),x,1,+,8,x,0,-,1,x,1,+,(- 2),x,2,+,8,x,1,-,1,x,0,+,(- 2),x,2,+,8,x,(,-,1,)]]) =

(A B) C = ([[7,-,11,-,3],[11,20,17],[-,4,3,-,12]])

Vamos agora calcular o outro termo da equação. Para isso, vamos primeiro calcular a multiplicação B C :

B C =

([[2,1,-,1],[-,2,3,3],[1,0,2]]) x ([[2,1,0],[1,2,2],[0,1,-,1]]) =

([[2,x,2,+,1,x,1,+,(- 1),x,0,2,x,1,+,1,x,2,+,(- 1),x,1,2,x,0,+,1,x,2,+,(- 1),x,(,-,1,)],[-,2,x,2,+,3,x,1,+,3,x,0,-,2,x,1,+,3,x,2,+,3,x,1,-,2,x,0,+,3,x,2,+,3,x,(,-,1,)],[1,x,2,+,0,x,1,+,2,x,0,1,x,1,+,0,x,2,+,2,x,1,1,x,0,+,0,x,2,+,2,x,(,-,1,)]]) =

([[5,3,3],[-,1,7,3],[2,3,-,2]])

Multiplicando esta matriz por A :

A (B C) =

([[1,-,2,0],[3,2,-,1],[-,2,0,3]]) x ([[5,3,3],[-,1,7,3],[2,3,-,2]]) =

([[1,x,5,+,(- 2),x,(- 1),+,0,x,2,1,x,3,+,(- 2),x,7,+,0,x,3,1,x,3,+,(- 2),x,3,+,0,x,(,-,2,)],[3,x,5,+,2,x,(- 1),+,(- 1),x,2,3,x,3,+,2,x,7,+,(- 1),x,3,3,x,3,+,2,x,3,+,(- 1),x,(,-,2,)],[-,2,x,5,+,0,x,(- 1),+,3,x,2,-,2,x,3,+,0,x,7,+,3,x,3,-,2,x,3,+,0,x,3,+,3,x,(,-,2,)]]) =

A (B C) = ([[7,-,11,-,3],[11,20,17],[-,4,3,-,12]]) = (A B) C

Passo 3

Nosso próximo passo será calcular (A + B) + C = A + ( B + C ) . Vamos então fazer a soma (A + B) :

(A + B) =

([[1,-,2,0],[3,2,-,1],[-,2,0,3]]) + ([[2,1,-,1],[-,2,3,3],[1,0,2]]) =

([[1,+,2,-,2,+,1,0,-,1],[3,-,2,2,+,3,-,1,+,3],[-,2,+,1,0,+,0,3,+,2]]) =

([[3,-,1,-,1],[1,5,2],[-,1,0,5]])

Somando agora a matriz C :

(A + B) + C =

([[3,-,1,-,1],[1,5,2],[-,1,0,5]]) + ([[2,1,0],[1,2,2],[0,1,-,1]]) =

([[3,+,2,-,1,+,1,-,1,+,0],[1,+,1,5,+,2,2,+,2],[-,1,+,0,0,+,1,5,-,1]]) =

([[5,0,-,1],[2,7,4],[-,1,1,4]])

Vamos agora calcular o termo A + ( B + C ) . Para isso, vamos começar com a soma ( B + C ) :

(B + C) =

([[2,1,-,1],[-,2,3,3],[1,0,2]]) + ([[2,1,0],[1,2,2],[0,1,-,1]]) =

([[2,+,2,1,+,1,-,1,+,0],[-,2,+,1,3,+,2,3,+,2],[1,+,0,0,+,1,2,-,1]]) =

([[4,2,-,1],[-,1,5,5],[1,1,1]])

Somando agora a matriz A :

A + (B + C) =

([[1,-,2,0],[3,2,-,1],[-,2,0,3]]) + ([[4,2,-,1],[-,1,5,5],[1,1,1]]) =

([[1,+,4,-,2,+,2,0,-,1],[3,-,1,2,+,5,-,1,+,5],[-,2,+,1,0,+,1,3,+,1]]) =

A + (B + C) = ([[5,0,-,1],[2,7,4],[-,1,1,4]]) = (A + B) + C

Vamos agora ao item (c). Ele nos pede para verificar que A (B + C) = A B + A C . Vamos começar pelo lado esquerdo. Como já calculamos:

(B + C) = ([[4,2,-,1],[-,1,5,5],[1,1,1]])

Então:

A (B + C) =

([[1,-,2,0],[3,2,-,1],[-,2,0,3]]) x ([[4,2,-,1],[-,1,5,5],[1,1,1]]) =

([[1,x,4,+,(- 2),x,(- 1),+,0,x,1,1,x,2,+,(- 2),x,5,+,0,x,1,1,x,(- 1),+,(- 2),x,5,+,0,x,1],[3,x,4,+,2,x,(- 1),+,(- 1),x,1,3,x,2,+,2,x,5,+,(- 1),x,1,3,x,(- 1),+,2,x,5,+,(- 1),x,1],[-,2,x,4,+,0,x,(- 1),+,3,x,1,-,2,x,2,+,0,x,5,+,3,x,1,-,2,x,(- 1),+,0,x,5,+,3,x,1]]) =

([[6,-,8,-,11],[9,15,6],[-,5,-,1,5]])

Agora, vamos ao termo do lado direito. Já calculamos:

A B = ([[6,-,5,-,7],[1,9,1],[-,1,-,2,8]])

Agora iremos determinar A C :

A C =

([[1,-,2,0],[3,2,-,1],[-,2,0,3]]) x ([[2,1,0],[1,2,2],[0,1,-,1]]) =

([[1,x,2,+,(- 2),x,1,+,0,x,0,1,x,1,+,(- 2),x,2,+,0,x,1,1,x,0,+,(- 2),x,2,+,0,x,(,-,1,)],[3,x,2,+,2,x,1,+,(- 1),x,0,3,x,1,+,2,x,2,+,(- 1),x,1,3,x,0,+,2,x,2,+,(- 1),x,(,-,1,)],[-,2,x,2,+,0,x,1,+,3,x,0,-,2,x,1,+,0,x,2,+,3,x,1,-,2,x,0,+,0,x,2,+,3,x,(,-,1,)]]) =

([[0,-,3,-,4],[8,6,5],[-,4,1,-,3]])

Fazendo a soma A B + A C :

A B + A C =

([[6,-,5,-,7],[1,9,1],[-,1,-,2,8]]) + ([[0,-,3,-,4],[8,6,5],[-,4,1,-,3]]) =

([[6,+,0,-,5,-,3,-,7,-,4],[1,+,8,9,+,6,1,+,5],[-,1,-,4,-,2,+,1,8,-,3]]) =

([[6,-,8,-,11],[9,15,6],[-,5,-,1,5]])

Portanto:

A (B + C) = ([[6,-,8,-,11],[9,15,6],[-,5,-,1,5]]) = A B + A C

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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