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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 1

Se A = ([[1,-,2,0],[3,2,-,1],[-,2,1,3]]) e B = ([[4,-,2,3],[-,1,5,0],[6,1,2]]) , encontre

(a) 2 A + B

(b) A - 4 B

(c) A B

(d) B A

Passo 1

Para começar vamos relembrar algumas propriedades de matrizes:

Imagine duas matrizes A = ([[a_11,a_12],[a_21,a_22]]) e B = ([[b_11,b_12],[b_21,b_22]])

Se multiplicamos uma matriz por um número:

2 A = 2 ([[a_11,a_12],[a_21,a_22]]) = ([[2,a_11,2,a_12],[2,a_21,2,a_22]])

É equivalente a multiplicar todos os coeficientes da matriz.

Outra propriedade é a soma de matrizes. Esta operação só pode ser feita se as duas matrizes possuem o mesmo número de linhas e colunas. E é dada por:

A + B = ([[a_11,a_12],[a_21,a_22]]) + ([[b_11,b_12],[b_21,b_22]]) = ([[a_11,+,b_11,a_12,+,b_12],[a_21,+,b_21,a_22,+,b_22]])

Ou seja, a soma de matrizes gera uma nova matriz com o mesmo tamanho das matrizes que a geraram e cada termo é a soma dos termos equivalentes nas matrizes originárias.

Vamos rever agora a multiplicação de matrizes. A primeira coisa que precisamos saber é que a ordem dos fatores é importante, ou seja, A B != B A . Além disso, para realizar esta operação é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda. Esta operação é descrita por:

A B = ([[a_11,a_12],[a_21,a_22]]) ([[b_11,b_12],[b_21,b_22]]) =

([[a_11,b_11,+,a_12,b_21,a_11,b_12,+,a_12,b_22],[a_21,b_11,+,a_22,b_21,a_21,b_12,+,a_22,b_22]]) = C

Ou você pode pensar que o termo c_i j da matriz c é:

c_i j = sum_(k = 1)^n a_i k x b_k j

Agora que já recordamos algumas propriedades de matrizes iremos aplicá-las para resolver os problemas propostos. Tudo bem???

Passo 2

Temos as matrizes A = ([[1,-,2,0],[3,2,-,1],[-,2,1,3]]) e B = ([[4,-,2,3],[-,1,5,0],[6,1,2]]) . O item (a) nos pede para calcular 2 A + B :

2 A + B =

2 x ([[1,-,2,0],[3,2,-,1],[-,2,1,3]]) + ([[4,-,2,3],[-,1,5,0],[6,1,2]]) =

([[2,-,4,0],[6,4,-,2],[-,4,2,6]]) + ([[4,-,2,3],[-,1,5,0],[6,1,2]]) =

([[2,+,4,-,4,-,2,0,+,3],[6,-,1,4,+,5,-,2,+,0],[-,4,+,6,2,+,1,6,+,2]]) =

2 A + B = ([[6,-,6,3],[5,9,-,2],[2,3,8]])

Vamos agora para o item (b). Ele nos pede para obter A - 4 B :

A - 4 B =

([[1,-,2,0],[3,2,-,1],[-,2,1,3]]) - 4 x ([[4,-,2,3],[-,1,5,0],[6,1,2]]) =

([[1,-,2,0],[3,2,-,1],[-,2,1,3]]) + ([[-,16,8,-,12],[4,-,20,0],[-,24,-,4,-,8]]) =

([[1,-,16,-,2,+,8,0,-,12],[3,+,4,2,-,20,-,1,+,0],[-,2,-,24,1,-,4,3,-,8]]) =

A - 4 B = ([[-,15,6,-,12],[7,-,18,-,1],[-,26,-,3,-,5]])

Passo 3

Vamos agora para os itens (c) e (d) que tratam de multiplicação de matrizes. O item (c) pede para determinar A B . Vamos lá???

A B =

([[1,-,2,0],[3,2,-,1],[-,2,1,3]]) ([[4,-,2,3],[-,1,5,0],[6,1,2]]) =

([[1,x,4,+,(- 2),x,(- 1),+,0,x,6,1,x,(,-,2,),+,(- 2),x,5,+,0,x,1,1,x,3,+,(- 2),x,0,+,0,x,2],[3,x,4,+,2,x,(,-,1,),+,(- 1),x,6,3,x,(- 2),+,2,x,5,+,(- 1),x,1,3,x,3,+,2,x,0,+,(- 1),x,2],[-,2,x,4,+,1,x,(,-,1,),+,3,x,6,-,2,x,(,-,2,),+,1,x,5,+,3,x,1,-,2,x,3,+,1,x,0,+,3,x,2]]) =

A B = ([[6,-,12,3],[4,3,7],[9,12,0]])

E finalmente, o item (d) pede para determinar B A :

B A =

([[4,-,2,3],[-,1,5,0],[6,1,2]]) ([[1,-,2,0],[3,2,-,1],[-,2,1,3]]) =

([[4,x,1,+,(- 2),x,3,+,3,x,(- 2),4,x,(- 2),+,(- 2),x,2,+,3,x,1,4,x,0,+,(- 2),x,(- 1),+,3,x,3],[-,1,x,1,+,5,x,3,+,0,x,(- 2),-,1,x,(- 2),+,5,x,2,+,0,x,1,-,1,x,0,+,5,x,(- 1),+,0,x,3],[6,x,1,+,1,x,3,+,2,x,(- 2),6,x,(- 2),+,1,x,2,+,2,x,1,6,x,0,+,1,x,(- 1),+,2,x,3]]) =

B A = ([[-,8,-,9,11],[14,12,-,5],[5,-,8,5]])

Resposta

(a) 2 A + B = ([[6,-,6,3],[5,9,-,2],[2,3,8]])

(b) A - 4 B = ([[-,15,6,-,12],[7,-,18,-,1],[-,26,-,3,-,5]])

(c) A B = ([[6,-,12,3],[4,3,7],[9,12,0]])

(d) B A = ([[-,8,-,9,11],[14,12,-,5],[5,-,8,5]])

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Se A = ([[1,+,i,-,1,+,2,i],[3,+,2,i,2,-,i]]) e B = ([[i,3],[2,-,2,i]]) , encontre(a) A - 2 B (b) 3 A + B (c) A B (d) B A
Se A = ([[-,2,1,2],[1,0,-,3],[2,-,1,1]]) e B = ([[1,2,3],[3,-,1,-,1],[-,2,1,0]]) , encontre(a) A^T (b) B^T (c) A^T + B^T (d) (A + B)^T
Se x = 1 - 2 i i 2 e y = 2 3 - i 1 + 2 i , mostre que(a) x T y = y T x (b) x , y = ( y , x - )
Se x = 2 3 i 1 - i e y = - 1 + i 2 3 - i , encontre(a) x T y (b) y T y (c) ( x , y ) (d) ( y , y )