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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 5

Se A = ([[3,2,-,1],[2,-,1,2],[1,2,1]]) e B = ([[2,1,-,1],[-,2,3,3],[1,0,2]]) , verifique que 2 (A + B) = 2 A + 2 B .

Passo 1

Para começar vamos fazer uma breve revisão de propriedades de matrizes:

Imagine duas matrizes A = ([[a_11,a_12],[a_21,a_22]]) e B = ([[b_11,b_12],[b_21,b_22]])

Se multiplicamos uma matriz por um número:

2 A = 2 ([[a_11,a_12],[a_21,a_22]]) = ([[2,a_11,2,a_12],[2,a_21,2,a_22]])

É equivalente a multiplicar todos os coeficientes da matriz.

Outra propriedade é a soma de matrizes. Esta operação só pode ser feita se as duas matrizes possuem o mesmo número de linhas e colunas. E é dada por:

A + B = ([[a_11,a_12],[a_21,a_22]]) + ([[b_11,b_12],[b_21,b_22]]) = ([[a_11,+,b_11,a_12,+,b_12],[a_21,+,b_21,a_22,+,b_22]])

Ou seja, a soma de matrizes gera uma nova matriz com o mesmo tamanho das matrizes que a geraram e cada termo é a soma dos termos equivalentes nas matrizes originárias.

Agora que vimos estas propriedades vamos calcular 2 (A + B) e 2 A + 2 B . Fazendo isto devemos provar que 2 (A + B) = 2 A + 2 B . Vamos lá???

Passo 2

Nosso próximo passo será calcular 2 (A + B) . Para isso, vamos primeiro fazer a soma das matrizes A e B e depois multiplicar a matriz resultante por dois. Então:

A + B =

([[3,2,-,1],[2,-,1,2],[1,2,1]]) + ([[2,1,-,1],[-,2,3,3],[1,0,2]]) =

([[3,+,2,2,+,1,-,1,-,1],[2,-,2,-,1,+,3,2,+,3],[1,+,1,2,+,0,1,+,2]]) =

([[5,3,-,2],[0,2,5],[2,2,3]])

Multiplicando esta matriz por 2:

2 (A + B) =

2 x ([[5,3,-,2],[0,2,5],[2,2,3]]) =

([[2,x,5,2,x,3,2,x,(,-,2,)],[2,x,0,2,x,2,2,x,5],[2,x,2,2,x,2,2,x,3]]) =

([[10,6,-,4],[0,4,10],[4,4,6]])

Passo 3

Vamos agora calcular 2 A + 2 B . Para isso, iremos multiplicar as matrizes A e B por 2, e então somar as duas. Então:

2 A =

2 x ([[3,2,-,1],[2,-,1,2],[1,2,1]]) =

([[2,x,3,2,x,2,2,x,(,-,2,)],[2,x,2,2,x,(,-,1,),2,x,2],[2,x,1,2,x,2,2,x,1]]) =

([[6,4,-,2],[4,-,2,4],[2,4,2]])

E

2 B =

2 x ([[2,1,-,1],[-,2,3,3],[1,0,2]]) =

([[2,x,2,2,x,1,2,x,(,-,1,)],[2,x,(,-,2,),2,x,3,2,x,3],[2,x,1,2,x,0,2,x,2]]) =

([[4,2,-,2],[-,4,6,6],[2,0,4]])

Vamos agora aplicar a soma destas matrizes:

2 A + 2 B =

([[6,4,-,2],[4,-,2,4],[2,4,2]]) + ([[4,2,-,2],[-,4,6,6],[2,0,4]]) =

([[6,+,4,4,+,2,-,2,-,2],[4,-,4,-,2,+,6,4,+,6],[2,+,2,4,+,0,2,+,4]]) =

([[10,6,-,4],[0,4,10],[4,4,6]])

Portanto:

2 (A + B) = ([[10,6,-,4],[0,4,10],[4,4,6]]) = 2 A + 2 B

E conseguimos mostrar que as operações são equivalentes.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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