Seja A uma matriz quadrada. Prove que, se houver duas matrizes B e C tais que A B = I e C A = I , então B = C . Desse modo, se a matriz tiver inversa, ela só poderá ter uma.

Enunciado

Imagine três matrizes: , e

Vamos usá-las para provar que a matriz só tem uma inversa. Tudo bem???

Para isso, vamos igualar as duas multiplicações e . Assim, devemos chegar a um sistema cuja solução será . Vamos lá???

Vamos começar pela multiplicação :

Vamos agora à multiplicação :

Ficamos então com o sistema:

Vamos começar usando a segunda linha para deixar em função de :

Substituindo na primeira equação:

Então

Indo para a terceira equação:

Substituindo na quarta equação:

Então

Vamos partir para as próximas quatro equações:

Se fizermos , , e podemos verificar que esta é solução do sistema e, portanto, .

Ei, a resposta está no passo a passo :)