Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 20
Seja uma matriz quadrada. Prove que, se houver duas matrizes e tais que e , então . Desse modo, se a matriz tiver inversa, ela só poderá ter uma.
Passo 1
Imagine três matrizes: , e
Vamos usá-las para provar que a matriz só tem uma inversa. Tudo bem???
Para isso, vamos igualar as duas multiplicações e . Assim, devemos chegar a um sistema cuja solução será . Vamos lá???
Passo 2
Vamos começar pela multiplicação :
Vamos agora à multiplicação :
Ficamos então com o sistema:
Vamos começar usando a segunda linha para deixar em função de :
Substituindo na primeira equação:
Então
Passo 3
Indo para a terceira equação:
Substituindo na quarta equação:
Então
Vamos partir para as próximas quatro equações:
Se fizermos , , e podemos verificar que esta é solução do sistema e, portanto, .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)