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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 16

Calcule a inversa da matriz dada ou mostre que ela é singular:

1 - 1 - 1 2 1 0 3 - 2 1

Passo 1

Vamos primeiro recordar o que é a matriz inversa. Uma matriz B é chamada de inversa de A se:

A B = B A = I

Em que I é a matriz identidade. A condição básica para que exista a matriz inversa é que det ⁡ A ≠ 0 . Caso det ⁡ A = 0 , a matriz A é chamada de singular e é não-inversível. Tudo bem??

Então, vamos ao exercício.

Passo 2

Nosso primeiro passo será calcular o determinante da matriz dada:

det ⁡ 1 - 1 - 1 2 1 0 3 - 2 1 =

1 - 1 - 1 2 1 0 3 - 2 1 =

1 x 1 x 1 + - 1 x 0 x 3 + - 1 x 2 x - 2 - 3 x 1 x - 1 - - 2 x 0 x 1 - 1 x 2 x ( - 1 ) = 10

Então, a matriz é inversível. Vamos agora determinar a matriz inversa.

Passo 3

O método mais comum é o seguinte:

1 - 1 - 1 2 1 0 3 - 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Espelhar a matriz e a identidade. Em seguida vamos tentar transformar a matriz na matriz identidade:

1 - 1 - 1 2 1 0 3 - 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Vamos começar multiplicando a primeira linha por 2 e então, subtrair da segunda linha:

1 - 1 - 1 0 3 2 3 - 2 1 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1

Agora iremos multiplicar a primeira linha por 3 e subtrair da terceira linha:

1 - 1 - 1 0 3 2 0 1 4 1 0 0 - 2 1 0 - 3 0 1

Vamos agora dividir a segunda linha por 3:

1 - 1 - 1 0 1 2 / 3 0 1 4 1 0 0 - 2 / 3 1 / 3 0 - 3 0 1

Iremos agora dividir a terceira linha por 4:

1 - 1 - 1 0 1 2 / 3 0 1 / 4 1 1 0 0 - 2 / 3 1 / 3 0 - 3 / 4 0 1 / 4

Nosso próximo passo será somar a segunda linha na primeira:

1 0 - 1 / 3 0 1 2 / 3 0 1 / 4 1 1 / 3 1 / 3 0 - 2 / 3 1 / 3 0 - 3 / 4 0 1 / 4

Agora, vamos multiplicar a segunda linha por 1/4 e subtrair da terceira linha:

1 0 - 1 / 3 0 1 2 / 3 0 0 5 / 6 1 / 3 1 / 3 0 - 2 / 3 1 / 3 0 - 7 / 12 - 1 / 12 1 / 4

Multiplicaremos a terceira linha por 6/5:

1 0 - 1 / 3 0 1 2 / 3 0 0 1 1 / 3 1 / 3 0 - 2 / 3 1 / 3 0 - 7 / 10 - 1 / 10 3 / 10

Vamos agora multiplicar a terceira linha por 2/3 e subtrair da segunda linha:

1 0 - 1 / 3 0 1 0 0 0 1 1 / 3 1 / 3 0 - 1 / 5 2 / 5 - 1 / 5 - 7 / 10 - 1 / 10 3 / 10

Por fim, vamos multiplicar a terceira linha por 1/3 e somar à primeira linha. Icamos com:

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 / 10 3 / 10 1 / 10 - 1 / 5 2 / 5 - 1 / 5 - 7 / 10 - 1 / 10 3 / 10

Então, a matriz inversa é:

1 / 10 3 / 10 1 / 10 - 1 / 5 2 / 5 - 1 / 5 - 7 / 10 - 1 / 10 3 / 10

Resposta

A matriz inversa é:

1 / 10 3 / 10 1 / 10 - 1 / 5 2 / 5 - 1 / 5 - 7 / 10 - 1 / 10 3 / 10

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