Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 16
Calcule a inversa da matriz dada ou mostre que ela é singular:
Passo 1
Vamos primeiro recordar o que é a matriz inversa. Uma matriz é chamada de inversa de se:
Em que é a matriz identidade. A condição básica para que exista a matriz inversa é que . Caso , a matriz é chamada de singular e é não-inversível. Tudo bem??
Então, vamos ao exercício.
Passo 2
Nosso primeiro passo será calcular o determinante da matriz dada:
Então, a matriz é inversível. Vamos agora determinar a matriz inversa.
Passo 3
O método mais comum é o seguinte:
Espelhar a matriz e a identidade. Em seguida vamos tentar transformar a matriz na matriz identidade:
Vamos começar multiplicando a primeira linha por 2 e então, subtrair da segunda linha:
Agora iremos multiplicar a primeira linha por 3 e subtrair da terceira linha:
Vamos agora dividir a segunda linha por 3:
Iremos agora dividir a terceira linha por 4:
Nosso próximo passo será somar a segunda linha na primeira:
Agora, vamos multiplicar a segunda linha por 1/4 e subtrair da terceira linha:
Multiplicaremos a terceira linha por 6/5:
Vamos agora multiplicar a terceira linha por 2/3 e subtrair da segunda linha:
Por fim, vamos multiplicar a terceira linha por 1/3 e somar à primeira linha. Icamos com:
Então, a matriz inversa é:
Resposta
A matriz inversa é: