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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 21

Se A ( t ) = ([[e^t,2,e^(- t),e^(2 t)],[2,e^t,e^(- t),-,e^(2 t)],[-,e^t,3,e^(- t),2,e^(2 t)]]) e B ( t ) = ([[2,e^t,e^(- t),3,e^(2 t)],[-,e^t,2,e^(- t),e^(2 t)],[3,e^t,-,e^(- t),-,e^(2 t)]]) , encontre

(a) A + 3 B

(b) A B

(c) d A // d t

(d) int_0^1 A (t) d t

Passo 1

Para começar vamos fazer uma breve revisão de propriedades de matrizes:

Imagine duas matrizes A = ([[a_11,a_12],[a_21,a_22]]) e B = ([[b_11,b_12],[b_21,b_22]])

Se multiplicamos uma matriz por um número:

2 A = 2 ([[a_11,a_12],[a_21,a_22]]) = ([[2,a_11,2,a_12],[2,a_21,2,a_22]])

É equivalente a multiplicar todos os coeficientes da matriz.

Outra propriedade é a soma de matrizes. Esta operação só pode ser feita se as duas matrizes possuem o mesmo número de linhas e colunas. E é dada por:

A + B = ([[a_11,a_12],[a_21,a_22]]) + ([[b_11,b_12],[b_21,b_22]]) = ([[a_11,+,b_11,a_12,+,b_12],[a_21,+,b_21,a_22,+,b_22]])

Ou seja, a soma de matrizes gera uma nova matriz com o mesmo tamanho das matrizes que a geraram e cada termo é a soma dos termos equivalentes nas matrizes originárias.

Vamos rever agora a multiplicação de matrizes. A primeira coisa que precisamos saber é que a ordem dos fatores é importante, ou seja, A B != B A . Além disso, para realizar esta operação é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda. Esta operação é descrita por:

A B = ([[a_11,a_12],[a_21,a_22]]) ([[b_11,b_12],[b_21,b_22]]) =

([[a_11,b_11,+,a_12,b_21,a_11,b_12,+,a_12,b_22],[a_21,b_11,+,a_22,b_21,a_21,b_12,+,a_22,b_22]]) = C

Ou você pode pensar que o termo c_i j da matriz C é:

c_i j = sum_(k = 1)^n a_i k x b_k j

Por último, vamos relembrar como é feita a derivada ou a integral de uma matriz. Quando se aplica uma destas funções é equivalente a derivar cada termo ou integrar cada termo da matriz. Ou seja:

(d A)/(d t) = ([[(d)/(d t),a_11,(d)/(d t),a_12],[(d)/(d t),a_21,(d)/(d t),a_22]])

E

int A = ([[int a_11,int a_12],[int a_21,int a_22]])

Agora que relembramos estes pontos vamos aplicá-los para resolver os itens propostos. Vamos lá???

Passo 2

Nosso primeiro passo será multiplicar a matriz B por 3:

3 B =

3 x ([[2,e^t,e^(- t),3,e^(2 t)],[-,e^t,2,e^(- t),e^(2 t)],[3,e^t,-,e^(- t),-,e^(2 t)]]) =

([[6,e^t,3 e^(- t),9,e^(2 t)],[-,3,e^t,6,e^(- t),3,e^(2 t)],[9,e^t,-,3,e^(- t),-,3,e^(2 t)]])

Somando agora a matriz A :

A + 3 B =

([[e^t,2,e^(- t),e^(2 t)],[2,e^t,e^(- t),-,e^(2 t)],[-,e^t,3,e^(- t),2,e^(2 t)]]) + ([[6,e^t,3 e^(- t),9,e^(2 t)],[-,3,e^t,6,e^(- t),3,e^(2 t)],[9,e^t,-,3,e^(- t),-,3,e^(2 t)]]) =

([[7,e^t,5 e^(- t),10,e^(2 t)],[-,e^t,7,e^(- t),2,e^(2 t)],[8,e^t,0,-,e^(2 t)]])

Vamos agora para o item (b). Ele nos pede para calcular a multiplicação das matrizes. Então:

A B =

([[e^t,2,e^(- t),e^(2 t)],[2,e^t,e^(- t),-,e^(2 t)],[-,e^t,3,e^(- t),2,e^(2 t)]]) x ([[2,e^t,e^(- t),3,e^(2 t)],[-,e^t,2,e^(- t),e^(2 t)],[3,e^t,-,e^(- t),-,e^(2 t)]]) =

([[2,e^(2 t),-,2,e^0,+,3,e^(3 t),e^0,+,4,e^(- 2 t),-,e^t,3,e^(3 t),+,2,e^t,-,e^(4 t)],[4,e^(2 t),-,e^0,-,3,e^(3 t),2,e^0,+,2,e^(- 2 t),+,e^t,6,e^(3 t),+,e^t,+,e^(4 t)],[-,2,e^(2 t),-,3,e^0,+,6,e^(3 t),-,e^0,+,6,e^(- 2 t),-,2,e^t,-,3,e^(3 t),+,3,e^t,-,2,e^(4 t)]]) =

([[3,e^(3 t),+,2,e^(2 t),-,2,-,e^t,+,4,e^(- 2 t),+,1,-,e^(4 t),+,3,e^(3 t),+,2,e^t],[-,3,e^(3 t),+,4,e^(2 t),-,1,e^t,+,2,e^(- 2 t),+,2,e^(4 t),+,6,e^(3 t),+,e^t],[6,e^(3 t),-,2,e^(2 t),-,3,-,2,e^t,+,6,e^(- 2 t),-,1,-,2,e^(4 t),-,3,e^(3 t),+,3,e^t]])

Passo 3

Vamos agora ao item (c). Ele nos pede para aplicar a derivada na matriz A . Então:

(d A)/(d t) =

(d)/(d t) ([[e^t,2,e^(- t),e^(2 t)],[2,e^t,e^(- t),-,e^(2 t)],[-,e^t,3,e^(- t),2,e^(2 t)]]) =

([[(d)/(d t),e^t,2,(d)/(d t),e^(- t),(d)/(d t),e^(2 t)],[2,(d)/(d t),e^t,(d)/(d t),e^(- t),-,(d)/(d t),e^(2 t)],[-,(d)/(d t),e^t,3,(d)/(d t),e^(- t),2,(d)/(d t),e^(2 t)]]) =

A derivada de uma função f (t) = e^(c t) é:

(d)/(d t) f (t) = c e^(c t)

Então ficamos com:

(d A)/(d t) = ([[e^t,-,2,e^(- t),2,e^(2 t)],[2,e^t,-,e^(- t),-,2,e^(2 t)],[-,e^t,-,3,e^(- t),4,e^(2 t)]])

Por fim, o item (d) no pede para determinar a integral da matriz A . Vamos a ela:

int_0^1 A (t) d t =

int_0^1 ([[e^t,2,e^(- t),e^(2 t)],[2,e^t,e^(- t),-,e^(2 t)],[-,e^t,3,e^(- t),2,e^(2 t)]]) d t =

([[int_0^1 e^t d t,2,int_0^1 e^(- t) d t,int_0^1 e^(2 t) d t],[2,int_0^1 e^t d t,int_0^1 e^(- t) d t,-,int_0^1 e^(2 t) d t],[-,int_0^1 e^t d t,3,int_0^1 e^(- t) d t,2,int_0^1 e^(2 t) d t]]) =

A integral de uma função f (t) = e^(c t) é dada por:

int e^(c t) d t = (e^(c t))/(c)

Então, ficamos com:

([[(e^t|_0^1,-,2,(e^(- t)|_0^1,((e^(2 t))/(2)|_0^1],[2,(e^t|_0^1,-,(e^(- t)|_0^1,-,((e^(2 t))/(2)|_0^1],[-,(e^t|_0^1,-,3,(e^(- t)|_0^1,2,((e^(2 t))/(2)|_0^1]]) =

([[e,-,1,-,2,((1)/(e) - 1),(e^2 - 1)/(2)],[2,(,e,-,1,),-,((1)/(e) - 1),-,(( e^2 - 1 ))/(2)],[-,(,e,-,1,),-,3,((1)/(e) - 1),2,(( e^2 - 1 ))/(2)]]) =

int_0^1 A (t) d t = ([[e,-,1,2,(1 - (1)/(e)),(( e - 1 ) ( e + 1 ))/(2)],[2,(,e,-,1,),(1 - (1)/(e)),-,(( e - 1 ) ( e + 1 ))/(2)],[-,(,e,-,1,),3,(1 - (1)/(e)),(,e,-,1,),(,e,+,1,)]])

int_0^1 A (t) d t = ([[e,-,1,(2 (e - 1))/(e),(( e - 1 ) ( e + 1 ))/(2)],[2,(,e,-,1,),((e - 1))/(e),-,(( e - 1 ) ( e + 1 ))/(2)],[-,(,e,-,1,),(3 (e - 1))/(e),(,e,-,1,),(,e,+,1,)]])

int_0^1 A (t) d t = ( e - 1 ) ([[1,(2)/(e),(( e + 1 ))/(2)],[2,(1)/(e),-,(( e + 1 ))/(2)],[-,1,(3)/(e),(,e,+,1,)]])

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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