Calcule.

lim x → + ∞ ⁡ x 3 e x

Passo 1

Vamos lá, aplicando o limite aqui ficamos com a indeterminação ∞ ∞ , assim podemos aplicar L’Hospital, vamos então ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra do polinômio e da função exponencial:

x n ' = n x n - 1

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

Aplicando:

e x ' = e x

x 3 ' = 3 x 3 - 1 = 3 x 2

Substituindo no limite:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 e x = lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 e x

Passo 2

Continuamos com a mesma indeterminação, vamos aplicar L’Hospital novamente:

3 x 2 ' = 2 ⋅ 3 x 2 - 1 = 6 x

lim x → + ∞ ⁡ x 3 e x = lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 e x = lim x → + ∞ ⁡ 6 x e x

Passo 3

Ainda continuamos com a indeterminação, vamos aplicar mais uma vez:

6 x ' = 6 x 1 - 1 = 6 x 0 = 6 ⋅ 1 = 6

lim x → + ∞ ⁡ x 3 e x = lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 e x = lim x → + ∞ ⁡ 6 x e x = lim x → + ∞ ⁡ 6 e x = 0

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x 3 e x = 0

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