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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 6a

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (para isto, calcule todos os limites necessários).

f x = e x x 2

Passo 1

Primeiro vamos ter que achar f ' x e analisar seu sinal, vamos então ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra do polinômio, da função exponencial e da divisão:

x n ' = n x n - 1

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Vamos então aplicar:

f ' x = e x x 2 ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2 = e x ' x 2 - e x x 2 ' x 2 2 = e x x 2 - e x 2 x 2 - 1 x 4 = x 2 e x - e x 2 x x 4 = x 2 e x - 2 x e x x 4 = e x x 2 - 2 x x 4

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f ' x , o denominador vai ser sempre positivo, vamos então analisar o numerador igualando-o a zero:

e x x 2 - 2 x = 0 → x 2 - 2 x = 0 → x x - 2 = 0 → x = 0   e   x = 2

Vamos analisar o sinal da expressão:

Para x temos o seguinte esquema:

A expressão assume valores negativos quando x < 0 e assume valores positivos quando x > 0 .

Para x - 2 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < 2 e assume valores positivos quando x > 2 .

Passo 3

Vamos lá, agora vamos analisar as imagens que achamos no passo anterior:

Temos que g ' x > 0 em:

- ∞ , 0 e 2 , + ∞

E em f ' x < 0 temos um ponto de descontinuidade em 0 , assim:

0,2

Assim:

f é estritamente crescente em - ∞ , 0 e 2 , + ∞

f é estritamente decrescente em 0,2

Passo 4

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ e x x 2 = ∞

lim x → - ∞ ⁡ e x x 2 = 0

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

f é estritamente crescente em - ∞ , 0 e 2 , + ∞

f é estritamente decrescente em 0,2

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Qual das seguintes funções cresce mais rapidamente do que x 2 quando x → ∞ ? Qual cresce à mesma taxa que x 2 ? E qual cresce mais lentamente? x 2 + x 10 x 2 x 2 e - x log 10 ⁡ x 2 x 3 - x 2 1 10 x (