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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 2h

Utilizando polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro.

f x = cos ⁡ 0,2

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é achar as derivadas até a ordem 2 da função f x = cos ⁡ x

f ' x = - sen ⁡ x

f ' ' x = - cos ⁡ x

Passo 2

Agora, temos que achar as derivadas no ponto x 0 = 0 , além de f ( x 0 )

f 0 = cos ⁡ 0

f 0 = 1

f ' 0 = - sen ⁡ 0

f ' 0 = 0

f ' ' 0 = - cos ⁡ 0

f ' ' 0 = - 1

Passo 3

Com tudo isso, basta substituir no polinômio de Taylor de ordem 2

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2

f x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2

f x = 1 + 0 x - 0 - 1 2 x - 0 2

O polinômio vai ficar:

P 2 x = f x = 1 - x ² 2

Passo 4

Vamos agora achar o valor aproximado de f x = cos ⁡ 0,2 . Para isso, basta encontrar o valor do polinômio no ponto x = 0,2

P 2 0,2 = 1 - 0,2 ² 2

P 2 0,2 = 0,98

Passo 5

Feito isso, devemos avaliar o erro E x

Para a ordem 2, o erro está associado a ordem seguinte, ou seja:

E x = f ' ' ' x 3 ! | x - x 0 | 3

Por isso, vamos derivar f ' ' x , encontrada anteriormente e substituir na fórmula dado que x = 0

f x - P x ≤ E ( x )

f ' ' ' x = sen ⁡ x

f 0,2 = cos ⁡ 0,2

P x = P 2 0 = 0,98

cos ⁡ 0,2 - 0,98 ≤ sen ⁡ 0 6 | 0,2 - 0 | 3

cos ⁡ 0,2 - 0,98 ≤ 0

Resposta

P 2 0,2 = 0,98

cos ⁡ 0,2 - 0,98 ≤ 0

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Utilizando polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro. f x = 0,8
Utilizando polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro. sen ⁡ 0,1