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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 6.2 - Ex. 4g

Calcule.

underset(x -> + oo)(lim) [x ln 2 - ln (3^x + 1)]

Passo 1

Nessa questão se aplicarmos o limite direto chegamos em uma indeterminação do tipo oo - oo .

underset(x -> + oo)(lim) [x ln 2 - ln (3^x + 1)] = oo - oo

Então para resolver essa questão vamos ter que mexer um pouco na função a fim de simplicar.

Para isso vamos aplicar algumas propriedades de log.

Passo 2

Vamos começar mexendo na nossa segunda expressão e colocar 3^x em evidência:

ln (3^x + 1) = l n 3^x ( 1 + 3^(- x) )

Ai aqui podemos separar usando a regra,

ln (a b) = ln a + ln b

Aplicando para nossa função,

l n 3^x (1 + 3^(- x)) = ln 3^x + ln (1 + 3^(- x))

E agora vamos usar

ln a^b = b ln a

Então a nossa função fica assim,

ln (3^x + 1) = x l n 3 + l n ( 1 + 3^(- x) )

Passo 3

Reescrevendo nosso limite, ficamos com,

underset(x -> + oo)(lim) [x ln 2 - ln (3^x + 1)] = underset(x -> + oo)(lim) [x ln 2 - x l n 3 + l n ( 1 + 3^(- x) )]

Podemos separar em dois limites,

underset(x -> + oo)(lim) [x ln 2 - ln (3^x + 1)] = underset(x -> + oo)(lim) [x ln 2 - x ln 3] - underset(x -> + oo)(lim) l n ( 1 + 3^(- x) )

Temos que o segundo limite, vai para zero

underset(x -> + oo)(lim) l n ( 1 + 3^(- x) ) = ln 1 = 0

Já a primeiro limite, podemos reescrever assim,

underset(x -> + oo)(lim) [x ln 2 - x l n 3] = underset(x -> oo)(lim) x (ln 2 - ln 3)

Como ln 3 > ln 2 o que tá multiplicando x é negativo. Como só sobrou x no nosso limite, vamos ter um limite indo pra - oo , beleza?

underset(x -> oo)(lim) x (ln 2 - ln 3) = - oo

Juntando tudo, temos que,

underset(x -> + oo)(lim) [x ln 2 - ln (3^x + 1)] = underset(x -> + oo)(lim) [x ln 2 - x ln 3] - underset(x -> + oo)(lim) l n ( 1 + 3^(- x) ) = - oo - 0

Ou seja,

underset(x -> + oo)(lim) [x ln 2 - ln (3^x + 1)] = - oo

Show! :D

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) [x ln 2 - ln (3^x + 1)] = - oo

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