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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.8 - Ex. 1d

Calcule.

underset(x -> pi)(lim) (sen x)/(x - pi)

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função f (x) = (sen x)/(x - pi) quando x se aproxima de pi . Pra isso, vamos fazer uma troca de variáveis:

Podemos chamar h = x - pi , de modo que se x != pi , então h != 0 . Além disso, quando x tende a zero, h tende a pi . Assim, vamos ter:

x = h + pi

E o nosso limite vai ficar:

underset(x -> pi)(lim) (sen x)/(x - pi) = underset(h -> 0)(lim) (sen (h + pi))/(h)

Vamos lá!

Passo 2

Usando as propriedades da função seno, vamos ter:

underset(x -> pi)(lim) (sen x)/(x - pi) = underset(h -> 0)(lim) (sen (h + pi))/(h)

= underset(h -> 0)(lim) (sen h cos pi + sen pi cos h)/(h)

Mas cos pi = - 1 e sen pi = 0 . Então, temos:

underset(h -> 0)(lim) (sen h * (- 1) + 0 * cos h)/(h)

:

= underset(h -> 0)(lim) (- sen h)/(h)

Repare que temos o limite fundamental underset(h -> 0)(lim) (sen h)/(h) = 1 . Portanto, temos:

underset(h -> 0)(lim) (- sen h)/(h) = - 1

E encontramos nossa resposta.

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

underset(x -> pi)(lim) (sen x)/(x - pi) = - 1

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