Calcule.

lim x → π ⁡ sen ⁡ x x - π

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função f x = sen ⁡ x x - π quando x se aproxima de π . Pra isso, vamos fazer uma troca de variáveis:

Podemos chamar h = x - π , de modo que se x ≠ π , então h ≠ 0 . Além disso, quando x tende a zero, h tende a π . Assim, vamos ter:

x = h + π

E o nosso limite vai ficar:

lim x → π ⁡ sen ⁡ x x - π = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h + π h

Vamos lá!

Passo 2

Usando as propriedades da função seno, vamos ter:

lim x → π ⁡ sen ⁡ x x - π = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h + π h

= lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h cos ⁡ π + sen ⁡ π cos ⁡ h h

Mas cos ⁡ π = - 1 e sen ⁡ π = 0 . Então, temos:

lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h ∙ - 1 + 0 ∙ cos ⁡ h h

:

= lim h → 0 ⁡ - sen ⁡ h h

Repare que temos o limite fundamental lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h = 1 . Portanto, temos:

lim h → 0 ⁡ - sen ⁡ h h = - 1

E encontramos nossa resposta.

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → π ⁡ sen ⁡ x x - π = - 1

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