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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 6.3 - Ex. 1c

Calcule

c ) underset(x -> + oo)(lim) (1 + (1)/(2 x))^x

Passo 1

Para resolver esse limite, precisamos lembrar do limite fundamental exponencial:

underset(u -> +- oo)(lim) (1 + (1)/(u))^u = e

Certo?

Passo 2

Agora vamos fazer uma mudança de variáveis, para ver como nosso exercício pode se encaixar no limite fundamental.

Dizendo que:

u = 2 x

Então temos que x = (u)/(2) . Ok?

Passo 3

Agora vamos substituir x para o nosso caso:

underset(x -> + oo)(lim) (1 + (1)/(2 x))^x = underset(u // 2 -> + oo)(lim) (1 + (1)/(2 u // 2))^(u // 2)

Aqui temos duas coisas:

  • Sabendo que x = u // 2 , e quando x -> + oo temos que: u -> + 2 oo que também é + oo , então podemos substituir u // 2 -> + oo por u -> + oo ;
  • Lembrando também das propriedades de funções exponenciais: A^(2 x) = (A^x)^2 = (A^2)^x

Com isso vou arrumar aquele limite ali em cima:

underset(u // 2 -> + oo)(lim) (1 + (1)/(2 u // 2))^(u // 2) = [underset(u -> + oo)(lim) (1 + (1)/(u))^u]^(1 // 2)

O que temos dentro dos colchetes é a definição do número e , assim:

underset(x -> + oo)(lim) (1 + (1)/(2 x))^x = [e]^(1 // 2) = e^((1)/(2))

Resposta

e^(1 // 2)

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Ache o limiteunderset(y - + oo)(lim) (2 y^2 - 3 y)/(y + 1)
Ache o limiteunderset(w - - oo)(lim) (sqrt(w^2 - 2 w + 3))/(w + 5)
Ache o limiteunderset(x - + oo)(lim) (1 + 5 x)/(2 - 3 x)
Ache o limite:underset(x - + oo)(lim) (x^2 + 5)/(x^3)
Ache o limiteunderset(x - - oo)(lim) (5 x^3 - 12 x + 7)/(4 x^2 - 1)