Calcule o limite, se ele existir.

lim x ��� - 1 ⁡ 2 x 2 + 3 x + 1 x 2 - 2 x - 3

Passo 1

Falaaa... tudo bem?

Nessa questão vamos calcular o limite, se ele existir:

lim x → - 1 ⁡ 2 x 2 + 3 x + 1 x 2 - 2 x - 3

Bom... a primeira coisa que tentamos fazer é substituir o valor para o qual o x está tendendo:

lim x → - 1 ⁡ 2 x 2 + 3 x + 1 x 2 - 2 x - 3 = 2 - 1 2 + 3 - 1 + 1 - 1 2 - 2 - 1 - 3

= 0 0

Putz... deu “zero sobre zero” e chamamos isso de indeterminação. Quando temos indeterminação precisamos usar alguma técnica pra conseguir resolver o limite.

Como temos dois polinômios do segundo grau, então vamos tentar fatorar os dois e depois e cortar alguma parcela que tenham em comum.

Lembrando que um polinômio do segundo grau, podemos fatorar em:

a x 2 + b x + c = a x - r 1 x - r 2

Onde a , b e c são os coeficientes e r 1 e r 2 são as raízes.

Passo 2

Primeiro vamos achar as raízes do polinômio de cima:

2 x 2 + 3 x + 1 = 0

Usando Bhaskara:

r = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

r = - 3 ± 3 2 - 4 ( 2 ) ( 1 ) 2 2

r = - 3 ± 1 4

E achamos as raízes:

r 1 = - 1 2

r 2 = - 1

Então o polinômio fatorado fica:

2 x 2 + 3 x + 1 = 2 x - - 1 2 x - - 1

= 2 x + 1 2 x + 1

= ( 2 x + 1 ) ( x + 1 )

Passo 3

Achando as raízes do polinômio de baixo:

x 2 - 2 x - 3 = 0

Usando Bhaskara:

r = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

r = - - 2 ± - 2 2 - 4 1 - 3 2 1

r = 2 ± 4 2

E achamos as raízes:

r 1 = 3

r 2 = - 1

Então o polinômio fatorado fica:

x 2 - 2 x - 3 = 1 ( x - 3 ) ( x - - 1

= x - 3 x + 1

Passo 4

Voltando pro limite e substituindo os polinômios fatorados:

lim x → - 1 ⁡ 2 x 2 + 3 x + 1 x 2 - 2 x - 3 = lim x → - 1 ⁡ ( 2 x + 1 ) ( x + 1 ) ( x - 3 ) ( x + 1 )

Agora iremos simplificar o termo ( x + 1 ) que aparece no numerador e no denominador do limite, com isso, ficamos com:

lim x → - 1 ⁡ 2 x + 1 x - 3

Agora iremos substituir os valores para x , obtendo:

2 - 1 + 1 - 1 - 3 = - 1 - 4 = 1 4

Resposta

lim x → - 1 ⁡ 2 x 2 + 3 x + 1 x 2 - 2 x - 3 = 1 4

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