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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.3 - Ex. 32

Calcule o limite, se ele existir.

lim h → 0 ⁡ 1 x + h 2 - 1 x 2 h

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular o seguinte limite (caso ele exista):

lim h → 0 ⁡ 1 x + h 2 - 1 x 2 h

Veja que não podemos substituir direto h = 0 , pois teremos uma indeterminação (uma divisão por 0 ).

Assim, precisamos encontrar uma forma de ‘retirar’ esse h daí de forma que não tenhamos mais uma indeterminação.

Para isso, precisaremos fazer algumas manipulações algébricas.

E aí? Bora lá?? 😉

Passo 2

Vamos inicialmente simplificar a expressão dentro do limite:

1 x + h 2 - 1 x 2 h

Realizando a subtração do numerador, temos:

x 2 - x + h 2 x 2 x + h 2 h

Fazendo a divisão de frações, obtemos:

x 2 - x + h 2 h x 2 x + h 2

Passo 3

Olha esse produto notável:

a 2 - b 2 = a - b a + b

Assim, aplicando no numerador da nossa expressão, temos:

x - x + h x + x + h h x 2 x + h 2

Simplificando o numerador, temos:

- h 2 x + h h x 2 x + h 2

Simplificando o h do numerador e do denominador:

- ( 2 x + h ) x 2 x + h 2

Passo 4

Agora podemos finalmente dizer que:

lim h → 0 ⁡ 1 x + h 2 - 1 x 2 h = lim h → 0 ⁡ - 2 x + h x 2 x + h 2

Agora podemos fazer h → 0 :

lim h → 0 ⁡ 1 x + h 2 - 1 x 2 h = - 2 x x 2 x 2

lim h → 0 ⁡ 1 x + h 2 - 1 x 2 h = - 2 x 3

Resposta

lim h → 0 ⁡ 1 x + h 2 - 1 x 2 h = - 2 x 3

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Se r for uma função racional, use o Exercicío 55 para mostrar que lim x → a ⁡ r ( x ) = r ( a ) para todo número a no domínio de r .
Para o limite lim x → 1 ⁡ ( 4 + x - 3 x 3 ) = 2 ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 1 e ε = 0,1 .
Dado que lim x → π 2 ⁡ tg ² ⁡ x = ∞ ² , ilustre a Definição 6 encontrando os valores de δ que correspondam a M = 1000 M = 10000 .
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → - 5 ⁡ 4 - 3 x 5 = 7