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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.1 - Ex. 19

Calcule o limite, se ele existir.

underset(z -> + oo)(lim) (1 - e^((1)/(z)))/(- (3)/(z))

Passo 1

Essa indeterminação pode ser tirada aplicando a Regra de L’Hôpital. Bora antes ajeitar isso aqui pra derivação ser mais simples, né?

underset(z -> + oo)(lim) (1 - e^((1)/(z)))/(- (3)/(z)) = underset(z -> + oo)(lim) (1 - e^((1)/(z)))/(- 3 z^(- 1))

Passo 2

Agora, a gente aplica L’Hôpital, tomando o devido cuidado com a Regra da Cadeia.

underset(z -> + oo)(lim) (1 - e^((1)/(z)))/(- 3 z^(- 1)) = underset(z -> + oo)(lim) (z^(- 2) e^(1 // z))/(3 z^(- 2)) = (1)/(3) underset(z -> + oo)(lim) e^(1 // z)

Passo 3

Como underset(z -> + oo)(lim) e^(1 // z) = 1 , a gente conclui que

underset(z -> + oo)(lim) (1 - e^((1)/(z)))/(- (3)/(z)) = (1)/(3) .

Resposta

underset(z -> + oo)(lim) (1 - e^((1)/(z)))/(- (3)/(z)) = (1)/(3) .

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