Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.14 - Ex. 31
Determinar os seguintes limites com auxilio das regras de L’Hospital.
Passo 1
Pra começar, a gente chama o limite de . Vamos tentar substituir o valor do no limite pra ver no que dá. Substituindo,
Bom, esse é um limite que a gente claramente não sabe calcular, mas sabemos que quando aparecer expressões com essa cara, o macete é usar o nosso amigo, o número de Neper, .
Passo 2
Pega a idéia:
A gente pode reescrever qualquer número assim:
E pela regra do expoente:
Fazendo aqui no limite:
Como a base é constante, o limite só depende do expoente!
Passo 3
Beleza, então vamos calcular esse limite do expoente.
Se a gente substituir direto, vamos achar uma indeterminação, . Então vamos botar o cosseno pra baixo de modo que a gente fique com .
Pronto! Agora podemos aplicar a regra de L’Hospital!
Arrumando,
Agora vamos separar esse limite em duas partes:
O limite da esquerda é moleza, a gente vê de cara que ele vale , porque fica:
Pro segundo, continuamos com indeterminação, então vamos usar L’Hospital de novo!
Agora sim, substituindo, vamos encontrar:
Por isso, voltando tudo:
Passo 4
Beleza, esse é o limite do expoente. Então o limite todo dá: