Enunciado

Determinar os seguintes limites com auxilio das regras de L’Hospital.

lim x → + ∞ ⁡ x s e n π x  

Passo 1

Pra começar, a gente chama o limite de L . Vamos tentar substituir o valor do x no limite pra ver no que dá. Substituindo,

lim x → + ∞ ⁡ x s e n π x   = ∞ × s e n 0 = ∞ × 0

Bom, esse é um limite que a gente claramente não sabe calcular, mas vamos dar uma mexida.

Passo 2

Pega a idéia:

lim x → + ∞ ⁡ x s e n π x   = lim x → + ∞ ⁡ s e n π x 1 x

Agora temos um limite 0 / 0 , sacou? Podemos usar a regra de L’Hospital.

lim x → + ∞ ⁡ s e n π x 1 x = lim x → + ∞ ⁡ c o s π x × - π x 2 - 1 x 2

Cortando o x 2 :

lim x → + ∞ ⁡ x s e n π x   = lim x → + ∞ ⁡ π cos ⁡ π x

Substituindo,

lim x → + ∞ ⁡ x s e n π x   = π cos ⁡ 0

lim x → + ∞ ⁡ x s e n π x   = π

Fechou!

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x s e n π x   = π

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