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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.2 - Ex. 34

Calcule o limite, se existir.

underset(x -> + oo)(lim) (x - sqrt(x^2 + x))

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação oo - oo , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação (oo)/(oo) ou (0)/(0) , para isso vamos por x^2 em evidência

underset(x -> + oo)(lim) (x - sqrt(x^2 + x)) = underset(x -> + oo)(lim) (x - sqrt(x^2 (1 + (1)/(x)))) = underset(x -> + oo)(lim) (x - x sqrt((1 + (1)/(x))))

= underset(x -> + oo)(lim) (x (1 - sqrt((1 + (1)/(x)))))

Passo 2

Agora temos indeterminação 0 * oo vamos manipular novamente o limite para encontrar a indeterminação (oo)/(oo) ou (0)/(0) , assim vamos inverte x duas vezes.

underset(x -> + oo)(lim) (x (1 - sqrt((1 + (1)/(x))))) = underset(x -> + oo)(lim) ((1 - sqrt((1 + (1)/(x))))/((1)/(x)))

Passo 3

Como temos uma indeterminação (0)/(0) vamos aplicar L’Hôpital no limite.

underset(x -> + oo)(lim) ((1 - sqrt((1 + (1)/(x))))/((1)/(x))) = underset(x -> + oo)(lim) (((- 1)/(2 sqrt((1 + (1)/(x)))) (- (1)/(x^2)))/(- (1)/(x^2))) = underset(x -> + oo)(lim) ((- 1)/(2 sqrt((1 + (1)/(x))))) = - (1)/(2)

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) (x - sqrt(x^2 + x)) = - (1)/(2)

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Calcule o limite, se existir.underset(x - + oo)(lim) x^((1)/(x))
Calcule o limite, se existir.underset(x - 0)(lim) (1 + a x)^((1)/(x)) , a != 0
Calcule o limite, se existir.underset(x - + oo)(lim) [(x^6 + 3 x^5 + 4)^((1)/(6)) - x]
Calcule o limite, se existir.underset(x - 0)(lim) (cos x)^((1)/(x^2))