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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.3 - Ex. 6

Nos exercícios 1 a 30, calcule a integral indefinida:

6. ∫ t g 4 x d x

Passo 1

Vamos primeiro reescrever a integral dessa maneira:

∫ t g 2 x   t g 2 x   d x

E pela identidade trigonométrica:

t g 2 x + 1 = s e c 2 x

Podemos escrever a integral como:

∫ s e c 2 x - 1   t g 2 x   d x

∫ s e c 2 x   t g 2 x -   t g 2 x d x

Separando cada termo:

∫ s e c 2 x   t g 2 x d x - ∫   t g 2 x d x

Passo 2

Agora vamos resolver a primeira integral separado:

∫ s e c 2 x   t g 2 x d x

Fazendo a seguinte substituição

u = t g x → d u = s e c 2 x d x

Isolando dx:

d x = 1 s e c 2 x d u

A integral então fica:

∫ u 2 d u

E agora podemos integrar:

u 3 3 + c

Retornando à variável x:

t g 3 x 3 + c

Passo 3

Agora resolvendo a segunda integral do Passo 1:

∫   t g 2 x d x

Pela identidade que usamos anteriormente, ficaremos com:

∫   s e c 2 x - 1 d x

E integrando cada termo diretamente:

t a n x - x + c

Passo 4

E agora podemos substituir os dois resultados nas duas integrais do primeiro passo:

∫ s e c 2 x   t g 2 x d x - ∫   t g 2 x d x

t g 3 x 3 - t a n x + x + c

Resposta

t g 3 x 3 - t a n x + x + c

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