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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.2 - Ex. 21

Calcule o limite, se existir.

underset(x -> 0)(lim) (1 + a x)^((1)/(x)) , a != 0

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 1^(oo) , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação (oo)/(oo) ou (0)/(0) . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e^(underset(x -> 0)(lim) ln (1 + a x)^((1)/(x))) = e^(underset(x -> 0)(lim) (1)/(x) ln (1 + a x))

Passo 2

Agora temos underset(x -> 0)(lim) (1)/(x) ln (1 + a x) que se trata de uma indeterminação (oo)/(oo) , assim vamos aplicar L’Hôpital.

underset(x -> 0)(l i m) (ln (1 + a x))/(x) = underset(x -> 0)(l i m) ((a)/(1 + a x))/(1)

Passo 3

Resolvendo o limite temos.

underset(x -> 0)(l i m) (a)/(1 + a x) = a

underset(x -> 0)(lim) (1 + a x)^((1)/(x)) = e^(underset(x -> 0)(lim) ln (1 + a x)^((1)/(x))) = e^(underset(x -> 0)(l i m) (a)/(1 + a x)) = e^a

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (1 + a x)^((1)/(x)) = e^a

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