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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.2 - Ex. 28

Calcule o limite, se existir.

underset(x -> 0)(lim) (cos x)^((1)/(x^2))

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 1^(oo) , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação (oo)/(oo) ou (0)/(0) . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e^(underset(x -> 0)(lim) ln cos (x)^((1)/(x^2))) = e^(underset(x -> 0)(lim) (1)/(x^2) ln cos (x))

Passo 2

Agora temos underset(x -> 0)(lim) (1)/(x^2) ln cos (x) e aplicando L’Hôpital no limite temos

underset(x -> 0)(lim) (1)/(x^2) ln cos (x) = underset(x -> 0)(lim) (((- sin x)/(cos (x))))/(2 x) = underset(x -> 0)(lim) (1)/(cos x) underset(x -> 0)(lim) ((- sin x))/(2 x)

Passo 3

Resolvendo o limite temos.

underset(x -> 0)(lim) (1)/(cos x) underset(x -> 0)(lim) ((- sin x))/(2 x) = (1)/(2)

underset(x -> 0)(lim) (cos x)^((1)/(x^2)) = e^(underset(x -> 0)(lim) (1)/(x^2) ln cos (x)) = e^(underset(x -> 0)(lim) (1)/(cos x) underset(x -> 0)(lim) ((- sin x))/(2 x)) = e^((1)/(2))

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (cos x)^((1)/(x^2)) = e^((1)/(2))

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