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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.2 - Ex. 29

Calcule o limite, se existir.

underset(x -> + oo)(lim) [(x^6 + 3 x^5 + 4)^((1)/(6)) - x]

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação oo - oo , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação (oo)/(oo) ou (0)/(0) . Dessa forma vamos manipular a expressão colocando alguns termos em evidência.

underset(x -> + oo)(lim) [(x^6 + 3 x^5 + 4)^((1)/(6)) - x] = underset(x -> + oo)(lim) (x^6 (1 + (3)/(x) + (4)/(x^6)))^((1)/(6)) - x =

underset(x -> + oo)(lim) x (1 + (3)/(x) + (4)/(x^6))^((1)/(6)) - x = underset(x -> + oo)(lim) x ((1 + (3)/(x) + (4)/(x^6))^((1)/(6)) - 1) = underset(x -> + oo)(lim) (((1 + (3)/(x) + (4)/(x^6))^((1)/(6)) - 1))/(1 // x)

Passo 2

Agora aplicando L’Hôpital no limite e manipulando os termos temos

underset(x -> + oo)(lim) (((1 + (3)/(x) + (4)/(x^6))^((1)/(6)) - 1))/(x^(- 1)) = underset(x -> + oo)(lim) (((1)/(6) (1 + (3)/(x) + (4)/(x^6))^((- 5)/(6)) (- (6)/(x^2) - (4)/(x^7))))/(- 2 x^(- 2))

underset(x -> + oo)(lim) (- x^2 ((1)/(6) (- (6)/(x^2) - (4)/(x^7))))/(2 (1 + (3)/(x) + (4)/(x^6))^((5)/(6))) = underset(x -> + oo)(lim) (((1)/(6) (6 + (4)/(x^5))))/(2 (1 + (3)/(x) + (4)/(x^6))^((5)/(6))) = (1)/(2)

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) [(x^6 + 3 x^5 + 4)^((1)/(6)) - x] = underset(x -> + oo)(lim) (((1)/(6) (6 + (4)/(x^5))))/(2 (1 + (3)/(x) + (4)/(x^6))^((5)/(6))) = (1)/(2)

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Se f x = x + 1 ( ln ⁡ k ) / x ,s ex ≠ 0 5 ,s ex = 0 , ache k de forma que f seja contínua em x = 0 .
Se f x = 1 - e 4 x x ,s ex0 k ,s e0 ≤ x , ache k de forma que f seja contínua em x = 0 .
Se lim x → + ∞ ⁡ n x + 1 n x - 1 x = 9 , ache n .
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a. um dos seguintes limites: ∫ 0 + ∞ e - x d x
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a. um dos seguintes limites: ∫ - ∞ 1 e x d x