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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.2 - Ex. 29

Calcule o limite, se existir.

underset(x -> + oo)(lim) [(x^6 + 3 x^5 + 4)^((1)/(6)) - x]

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação oo - oo , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação (oo)/(oo) ou (0)/(0) . Dessa forma vamos manipular a expressão colocando alguns termos em evidência.

underset(x -> + oo)(lim) [(x^6 + 3 x^5 + 4)^((1)/(6)) - x] = underset(x -> + oo)(lim) (x^6 (1 + (3)/(x) + (4)/(x^6)))^((1)/(6)) - x =

underset(x -> + oo)(lim) x (1 + (3)/(x) + (4)/(x^6))^((1)/(6)) - x = underset(x -> + oo)(lim) x ((1 + (3)/(x) + (4)/(x^6))^((1)/(6)) - 1) = underset(x -> + oo)(lim) (((1 + (3)/(x) + (4)/(x^6))^((1)/(6)) - 1))/(1 // x)

Passo 2

Agora aplicando L’Hôpital no limite e manipulando os termos temos

underset(x -> + oo)(lim) (((1 + (3)/(x) + (4)/(x^6))^((1)/(6)) - 1))/(x^(- 1)) = underset(x -> + oo)(lim) (((1)/(6) (1 + (3)/(x) + (4)/(x^6))^((- 5)/(6)) (- (6)/(x^2) - (4)/(x^7))))/(- 2 x^(- 2))

underset(x -> + oo)(lim) (- x^2 ((1)/(6) (- (6)/(x^2) - (4)/(x^7))))/(2 (1 + (3)/(x) + (4)/(x^6))^((5)/(6))) = underset(x -> + oo)(lim) (((1)/(6) (6 + (4)/(x^5))))/(2 (1 + (3)/(x) + (4)/(x^6))^((5)/(6))) = (1)/(2)

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) [(x^6 + 3 x^5 + 4)^((1)/(6)) - x] = underset(x -> + oo)(lim) (((1)/(6) (6 + (4)/(x^5))))/(2 (1 + (3)/(x) + (4)/(x^6))^((5)/(6))) = (1)/(2)

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Calcule o limite, se existir.underset(x - 0)(lim) (1 + sinh x)^((2)/(x))
Calcule o limite, se existir.underset(x - 0)(lim) [(cos x) e^((x^2)/(2))]^((4)/(x^4))
Se f (x) = {[[(x + 1)^(( ln k ) // x) , s e x != 0],[5 , s e x = 0]]) , ache k de forma que f seja contínua em x = 0 .
Se f (x) = {[[(1 - e^(4 x))^x , s e x0],[k , s e 0 = x]]) , ache k de forma que f seja contínua em x = 0 .
Se underset(x - + oo)(lim) ((n x + 1)/(n x - 1))^x = 9 , ache n .