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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.3 - Ex. 36

Calcule a derivada indicada, aplicando os teoremas desta secção.

36. D x x 3 + 1       x 2 + 3   ( x 2 - 2 x - 1 + 1 )

Passo 1

E agora qual regra usar para derivar ? regra do produto ou do quociente ?

Calma, jovem, não precisa se desesperar, a questão é mais fácil do que você pensa.

Vamos fazer aquela multiplicação ali primeiro antes de derivar:

D x x 3 + 1       x 2 + 3   ( x 2 - 2 x - 1 + 1 )  

⇒   D x x 5 - 2 x 2 + x 3 + x 2 - 2 x - 1 + 1   x 2 + 3  

⇒   D x x 5 + x 3 - x 2 - 2 x - 1 + 1   x 2 + 3  

Ahhh, agora está na cara qual regra usar, regra do quociente.

Relembrando essa regra:

h ´ x = g x f ´ x - f x g ´ x g x 2

´´o segundo vezes a derivada do primeiro menos o primerio vezes derivada do segundo dividido pelo segundo ao quadrado´´.

Na nossa questão:

h x = x 5 + x 3 - x 2 - 2 x - 1 + 1   x + 5

f x = x 5 + x 3 - x 2 - 2 x - 1 + 1  

g x = x 2 + 3

Derivando:

h ´ x = ( x 2 + 3   ) x 5 + x 3 - x 2 - 2 x - 1 + 1   ´ - ( x 5 + x 3 - x 2 - 2 x - 1 + 1   ) ( x 2 + 3   ) ´ x 2 + 3 2

= x 2 + 3   5 x 4 + 3 x 2 - 2 x + 2 x - 2 - ( x 5 + x 3 - x 2 - 2 x - 1 + 1   ) ( 2 x ) x 2 + 3 2

= 5 x 6 + 3 x 4 - 2 x 3 + 2 + 15 x 4 + 9 x 2 - 6 x + 6 x - 2 - ( 2 x 6 + 2 x 4 - 2 x 3 - 4 + 2 x   ) x 2 + 3 2

Fazendo o jogo de sinal:

= 5 x 6 + 3 x 4 - 2 x 3 + 2 + 15 x 4 + 9 x 2 - 6 x + 6 x - 2 - 2 x 6 - 2 x 4 + 2 x 3 + 4 - 2 x x 2 + 3 2

=   3 x 6 + 16 x 4 + 9 x 2 - 8 x + 6 x - 2 + 6   x 2 + 3 2

Resposta

  3 x 6 + 16 x 4 + 9 x 2 - 8 x + 6 x - 2 + 6   x 2 + 3 2

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Calcule a derivada.f) x = t 3 e t
Calcule a derivada.h) y = x 3 + 1 sen ⁡ x
Calcule a derivadaj) x = 3 t + 2 / t 2