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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.2 - Ex. 32

Calcule o limite, se existir.

underset(x -> 0^+)(lim) x^(x^x)

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 0^0 , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação (oo)/(oo) ou (0)/(0) .

underset(x -> 0^+)(lim) x^(x^x) = e^(underset(x -> 0^+)(lim) ln x^(x^x)) = e^(underset(x -> 0^+)(lim) x^x ln x)

e^(underset(x -> 0^+)(lim) ln x * e^(underset(x -> 0^+)(lim) x ln x))

Passo 2

Agora temos indeterminação 0 * oo vamos manipular novamente o limite para encontrar a indeterminação (oo)/(oo) ou (0)/(0) , assim vamos inverte x duas vezes.

underset(x -> 0^+)(lim) x ln x = underset(x -> 0^+)(lim) (ln x)/((1)/(x))

Passo 3

Agora aplicando L’Hôpital no limite temos

= underset(x -> 0^+)(lim) (ln x)/((1)/(x)) underset(x -> 0^+)(lim) ((1)/(x))/(- (1)/(x^2)) = underset(x -> 0^+)(lim) - x

Passo 4

Agora substituindo o novo limite temos

underset(x -> 0^+)(lim) ln x * underset(x -> 0^+)(lim) e^(- x) = underset(x -> 0^+)(lim) ln x (1)

e^(underset(x -> 0^+)(lim) ln x) = 0

Resposta

underset(x -> 0^+)(lim) x^(x^x) = 0

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