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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.Revisão - Ex. 13

Nos exercícios de 1 a 18, calcule o limite, se existir.

lim x → + ∞ ⁡ l n ⁡ ( l n x ) l n ⁡ ( x - l n x )

Passo 1

Nesta seção, a maioria dos limites que formos resolver estão associados com alguma forma indeterminada. As formas indeterminadas mais comuns são ∞ ∞ e 0 0 . Existe também outras formas indeterminadas como ∞ 0   ,   1 ∞   e   0 0 .

Para resolvermos os limites que estão sujeitos à algumas dessas formas indeterminadas, podemos utilizar a Regra de L´Hôspital. Essa regra nos diz que ao encontrar uma das formas indeterminadas no cálculo de algum limite devemos derivar o numerado e o denominador, separadamente, até que a indeterminação deixe de existir.

Em alguns casos devemos fazer com que apareçam essas indeterminações, por meio de artifícios matemáticos, para que possamos aplicar a Regra de L´Hôspital e a resolução do limite se tornar mais fácil.

Passo 2

Sendo assim, calculando o limite em questão temos que:

lim x → + ∞ ⁡ l n ⁡ ( l n x ) l n ⁡ ( x - l n x ) = ⏞ ∞ ∞   L ´ H lim x → + ∞ ⁡ 1 l n x . 1 x 1 ( x - l n x ) . 1 - 1 x = lim x → + ∞ ⁡ 1 l n x . x 1 x - l n x . x - 1 x =

= lim x → + ∞ ⁡ x - l n x x - 1 l n x = ⏞ ∞ ∞   L ´ H lim x → + ∞ ⁡ 1 - 1 x 1 . l n x + x - 1 . 1 x = 0

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ l n ⁡ ( l n x ) l n ⁡ ( x - l n x ) = 0

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